În matematica numerelor figurative problema ghiulelor tratează numerele care sunt atât pătratice, cât și piramidale pătratice. Problema poate fi formulată astfel: având în vedere un aranjament pătrat de ghiulele, pentru care pătrate aceste ghiulele pot fi aranjate într-o piramidă pătrată. Echivalent, care pătrate sunt și suma pătratelor consecutive, începând de la 1.

91 de ghiulele aranjate într-o piramidă pătrată. Deși 91 este un număr piramidal pătratic, el nu este și un pătrat perfect, deci nu este o soluție la problema ghiulelelor.

Formularea ca ecuație diofantică

modificare

Când ghiulele sunt stivuite într-un cadru pătrat, numărul lor este un număr piramidal pătratic. Thomas Harriot a dat o formulă pentru acest număr în jurul anului 1587, răspunzând la o întrebare adresată de Sir Walter Raleigh în expediția lor în America.[1] Édouard Lucas a formulat problema ghiulelelor prin ecuația diofantică

 

sau

 
 
4900 de ghiulele pot fi aranjate fie ca un pătrat cu latura de 70, fie ca o piramidă pătrată cu latura de 24

Lucas a emis conjectura că singurele soluții ale acestei ecuații sunt N = 1, M = 1 și N = 24, M = 70, care corespund la 1, respectiv 4900 de ghiulele. În 1918 G. N. Watson a demonstrat conjectura folosind funcții eliptice. Ulterior au fost publicate și demonstrații elementare.[2][3]

Aplicații

modificare

Soluția N = 24, M = 70 poate fi folosită pentru generarea unei latice Leech. Rezultatul are importanță în teoria coardelor bosonice în 26 de dimensiuni.[4]

Deși este posibilă acoperirea unui pătrat cu pătrate inegale, asta nu se poate realiza cu soluția problemei ghiulelelor. Suma ariilor pătratelor cu laturile de la 1 la 24 este egală cu aria pătratului cu latura de 70, dar ele nu pot fi aranjate pentru a-l pava.

Probleme asemănătoare

modificare

Singurele numere care sunt simultan triunghiulare și piramidale pătrate sunt 1, 55, 91 și 208335.[5][6]

În afară de soluția banală 1, nu există numere care să fie simultan tetraedrice și piramidale pătratice.[6]

  1. ^ en David Darling. „Cannonball Problem”. The Internet Encyclopedia of Science. 
  2. ^ en Ma, D. G. (). „An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation  ”. Sichuan Daxue Xuebao. 4: 107–116. 
  3. ^ en Anglin, W. S. (). „The Square Pyramid Puzzle”. American Mathematical Monthly. 97 (2): 120–124. doi:10.2307/2323911. JSTOR 2323911. 
  4. ^ en „week95”. Math.ucr.edu. . Accesat în . 
  5. ^ Șirul A039596 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  6. ^ a b en Eric W. Weisstein, Square Pyramidal Number la MathWorld.

Legături externe

modificare