Puterea a șaptea

În aritmetică și algebră, puterea a șaptea a unui număr $n$ este rezultatul înmulțirii de șapte ori a lui $n$ cu el însuși, adică:

n^{7}=n\times n\times n\times n\times n\times n\times n.

Valoarea puterii a șaptea a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a șasea a sa, prin înmulțirea pătratului său cu puterea a cincea a sa, sau prin înmulțirea cubului său cu puterea a patra a sa.

Șirul valorilor puterii a șaptea a numerelor naturale este:^[1]

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, ...

Proprietăți

Leonard Eugene Dickson a studiat generalizările problemei Waring pentru puterile a șaptea, arătând că fiecare număr întreg nenegativ poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult 258 de numere la puterea a șaptea nenegative^[2] (1⁷ este 1, iar 2⁷ este 128). Aproape toate numerele întregi pozitive pot fi exprimate ca suma a cel mult 46 de numere la puterea a șaptea.^[3] Dacă sunt permise puteri negative, sunt necesari doar 12 termeni.^[4]

Cel mai mic număr care poate fi reprezentat în două moduri diferite ca o sumă de patru termeni pozitivi la puterea a șaptea este 2056364173794800.^[5]

Cel mai mic număr la puterea a șaptea care poate fi reprezentat ca o sumă de opt numere la puterea a șaptea este:^[6]

102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.

Cele două exemple cunoscute ale unor numere la puterea a șaptea reprezentate printr-o sumă de șapte numere la puterea a șaptea sunt:^[7]

568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}

(M. Dodrill, 1999)

și

626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}

(Maurice Blondot, 11/14/2000)

iar orice exemplu cu mai puțini termeni în sumă ar fi un contraexemplu la conjectura lui Euler, care în prezent se știe că este falsă doar pentru puterile 4 și 5.

Note

^ Șirul A001015 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ en Dickson, Leonard Eugene (1934), „A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers”, American Mathematical Monthly, 41 (9): 547–555, doi:10.2307/2301430, JSTOR 2301430, MR 1523212
^ en Kumchev, Angel V. (2005), „On the Waring-Goldbach problem for seventh powers”, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (10): 2927–2937, doi:10.1090/S0002-9939-05-07908-6  , MR 2159771
^ en Choudhry, Ajai (2000), „On sums of seventh powers”, Journal of Number Theory, 81 (2): 266–269, doi:10.1006/jnth.1999.2465, MR 1752254
^ en Ekl, Randy L. (1996), „Equal sums of four seventh powers”, Mathematics of Computation, 65 (216): 1755–1756, Bibcode:1996MaCom..65.1755E, doi:10.1090/S0025-5718-96-00768-5  , MR 1361807
^ en Stewart, Ian (1989), Game, set, and math: Enigmas and conundrums, Basil Blackwell, Oxford, p. 123, ISBN 0-631-17114-2, MR 1253983
^ en Meyrignac, Jean-Charles (14 februarie 2001). „Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions”. Accesat în 17 iulie 2017.

Vezi și

Portal Matematică

Funcție algebrică de gradul al șaptelea

[1] Șirul A001015 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[dickson-2] Dickson, Leonard Eugene (1934), „A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers”, American Mathematical Monthly, 41 (9): 547–555, doi:10.2307/2301430, JSTOR 2301430, MR 1523212

[kumchev-3] Kumchev, Angel V. (2005), „On the Waring-Goldbach problem for seventh powers”, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (10): 2927–2937, doi:10.1090/S0002-9939-05-07908-6  , MR 2159771

[choudhry-4] Choudhry, Ajai (2000), „On sums of seventh powers”, Journal of Number Theory, 81 (2): 266–269, doi:10.1006/jnth.1999.2465, MR 1752254

[ekl-5] Ekl, Randy L. (1996), „Equal sums of four seventh powers”, Mathematics of Computation, 65 (216): 1755–1756, Bibcode:1996MaCom..65.1755E, doi:10.1090/S0025-5718-96-00768-5  , MR 1361807

[stewart-6] Stewart, Ian (1989), Game, set, and math: Enigmas and conundrums, Basil Blackwell, Oxford, p. 123, ISBN 0-631-17114-2, MR 1253983

[meyrignac-7] Meyrignac, Jean-Charles (14 februarie 2001). „Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions”. Accesat în 17 iulie 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]