Rădăcină digitală

Rădăcina digitală (sau suma digitală repetată) a unui număr natural într-o bază de numerație dată este valoarea (cu o singură cifră) obținută printr-un proces iterativ de însumare a cifrelor, la fiecare iterație folosind rezultatul din iterația anterioară pentru a calcula suma cifrelor. Procesul continuă până se ajunge la un număr format dintr-o singură cifră.

Definiția formală

Fie $n$ un număr natural. În baza $b>1$, se definește suma cifrelor $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ în modul următor:

$F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}$

unde $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ este numărul de cifre ale numărului din baza $b$, iar

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

este valoarea fiecărei cifre a numărului. Un număr natural $n$ este rădăcina digitală dacă este un punct fix al $F_{b}$, care apare dacă $F_{b}(n)=n$.

Toate numerele naturale $n$ sunt rezultate intermediare pentru $F_{b}$, indiferent de bază. Aceasta deoarece dacă $n\geq b$, atunci

$n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}$

prin urmare

$F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n$

deoarece $b>1$. Dacă $n<b$, atunci rezultatul este trivial:

$F_{b}(n)=n$.

Prin urmare, singurele rădăcini digitale posibile sunt numerele naturale $0\leq n<b$ și nu există alte ciclări decât punctele fixe ale $0\leq n<b$.

Exemplu

În baza 12, 8 este rădăcina digitală a numărului 3110₁₀ (din baza 10):

$d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2$

$d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7$

$d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9$

$d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1$

$F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19$

Aceasta arată că 3110₁₀ = 1972₁₂. Acum, pentru $F_{12}(3110)=19$

$d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7$

$d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1$

$F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8$

arată că 19₁₀ = 17₁₂. Deoarece 8₁₂ este un număr format dintr-o singură cifră,

$F_{12}(8)=8$.

Formule directe

Se poate defini rădăcina digitală direct pentru baza $b>1$ $\operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ în modul următor:

Formula de congruență

În baza $b$ formula este:

$\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\bmod {b-1}},\\n\ {\rm {mod}}\ (b-1)&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\bmod {b-1}}\end{cases}}$

sau,

$\operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ (b-1))&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}$

În baza 10 secvența corespunzătoare este cea din Șirul A010888 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS).

Rădăcina digitală este valoarea modulo $b-1$ deoarece $b\equiv 1{\bmod {b-1}},$ astfel că $b^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1{\bmod {b-1}},$ deci, indiferent de poziție, valoarea $n{\bmod {b}}-1$ este aceeași — $ab^{2}\equiv ab\equiv a{\bmod {b-1}}$ — motiv pentru care cifrele pot fi adăugate în mod semnificativ. Concret, pentru un număr din trei cifre $n=a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}$

$\operatorname {dr} _{b}(n)\equiv a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}\equiv a_{1}(1)+a_{2}(1)+a_{3}(1)\equiv (a_{1}+a_{2}+a_{3}){\bmod {b-1}}$.

Pentru a obține valoarea modulară față de alte numere $n$, se pot lua sumele ponderate, caz în care ponderea celei de a k-a cifră corespunde valorii din $b^{k}$ modulo $n$. În baza 10 acest lucru este cel mai simplu pentru 2, 5 și 10, unde cifrele mai mari dispar (din moment ce 2 și 5 sunt divizori ai lui 10), ceea ce corespunde faptului că divizibilitatea unui număr zecimal în raport cu 2, 5 și 10 poate fi verificată de ultima cifră (de exeplu numerele pare se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8).

De asemenea, este de remarcat modulul $n=b+1$: din moment ce $b\equiv -1{\bmod {b+1}},$ există $b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},$ astfel $b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},$ luând suma alternativă a cifrelor rezultă valoarea modulo $b+1$.

Folosind funcția „partea întreagă”

Ajută să fie considerată rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv ca poziția față de cel mai mare multiplu al $b-1$ mai mic ca numărul propriu-zis. De exemplu, în baza 6 rădăcina digitală a lui 11₆ este 2, ceea ce înseamnă că 11₆ este al doilea număr după $6-1=5$. La fel, în baza 10 rădăcina digitală a anului 2035 este 1, ceea ce înseamnă că $2035-1=2034|9$. Dacă un număr produce o rădăcină digitală exact cât $b-1$, atunci numărul este un multiplu al $b-1$.

Având în vedere acest lucru, rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv $n$ poate fi definită folosind funcția „partea întreagă” $\lfloor x\rfloor$ drept

$\operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .$

Proprietăți

• Rădăcina digitală a $a_{1}+a_{2}$ în baza $b$ este rădăcina digitală a sumei rădăcinii digitale a $a_{1}$ și a rădăcinii digitale a $a_{2}$. Această proprietate poate fi utilizată ca un fel de sumă de control, pentru a verifica dacă o sumă a fost efectuată corect.

$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).$

• Rădăcina digitală a $a_{1}-a_{2}$ în baza $b$ este congruentă cu diferența dintre rădăcina digitală a $a_{1}$ și cea a $a_{2}$ modulo $b-1$.

$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\bmod {b-1}}.$

• Rădăcina digitală a $-n$ în baza $b$ este:

$\operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.$

• Rădăcina digitală a produsului numerelor strict pozitive formate dintr-o singură cifră $a_{1}\cdot a_{2}$ în baza $b$ este dată de pătratul Vedic în baza $b$.
• Rădăcina digitală a $a_{1}\cdot a_{2}$ în baza $b$ este rădăcina digitală a produsului rădăcinilor digitale ale $a_{1}$ și $a_{2}$.

$\operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).$

Persistența aditivă

Persistența aditivă numără de câte ori trebuie efectuată suma cifrelor unui număr pentru a se ajunge la rădăcina sa digitală. De exemplu, persistența aditivă a numărului 2718 în baza 10 este 2: În primul pas se calculează $2+7+1+8=18,$iar în al doilea $1+8=9.$.

Nu există vreo limită pentru persistența aditivă a numerelor dintr-o bază $b$.

Demonstrație: Pentru un număr $n$ dat, persistența numărului format din $n$ repetări ale cifrei 1 este $n+1$. Cele mai mici numere cu persistență aditivă 0, 1, ... în baza 10 sunt:

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ...

Următorul număr din secvență (cel mai mic număr cu persistența aditivă 5) este 2 × 10^{2×(1022 − 1)/9} − 1 (adică 1 urmat de 2 222 222 222 222 222 222 222 cifre de 9). Pentru orice bază fixă, suma cifrelor unui număr este proporțională cu logaritmul său; prin urmare, persistența aditivă este proporțională cu logaritmul său iterat.

Exemplu de programare

Exemplul de mai jos implementează suma cifrelor descrisă în definiția de mai sus pentru a căuta rădăcini digitale și persistențe aditive în Python.

def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + (x % b)
        x = x // b
    return total

def digital_root(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return x

def additive_persistence(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return len(seen) - 1

Bibliografie

• en Averbach, Bonnie; Chein, Orin (27 mai 1999), Problem Solving Through Recreational Mathematics, Dover Books on Mathematics (ed. reprinted), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp. 125–127, ISBN 0-486-40917-1  (online copy, p. 125, pe Google Books)
• en Ghannam, Talal (4 ianuarie 2011), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, pp. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, arhivat din original la 29 martie 2016, accesat în 11 februarie 2016  (online copy, p. 68, pe Google Books)
• en Hall, Frederick Michael (1980), An Introduction into Abstract Algebra, 1 (ed. 2nd), Cambridge, U.K.: CUP Archive, p. 101, ISBN 978-0-521-29861-2  (online copy, p. 101, pe Google Books)
• en O'Beirne, T. H. (13 martie 1961), „Puzzles and Paradoxes”, New Scientist, Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN 0262-4079  (online copy, p. 53, pe Google Books)
• en Rouse Ball, Walter William Rouse Ball; Coxeter, H.S.M. (6 mai 2010), Mathematical Recreations and Essays, Dover Recreational Mathematics (ed. 13th), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2  (online copy pe Google Books)

Legături externe

• en Patterns of digital roots using MS Excel
• en Eric W. Weisstein, Digital Root la MathWorld.