Rădăcina digitală (sau suma digitală repetată) a unui număr natural într-o bază de numerație dată este valoarea (cu o singură cifră) obținută printr-un proces iterativ de însumare a cifrelor, la fiecare iterație folosind rezultatul din iterația anterioară pentru a calcula suma cifrelor. Procesul continuă până se ajunge la un număr format dintr-o singură cifră.

Definiția formală

modificare

Fie   un număr natural. În baza  , se definește suma cifrelor   în modul următor:

 

unde   este numărul de cifre ale numărului din baza  , iar

 

este valoarea fiecărei cifre a numărului. Un număr natural   este rădăcina digitală dacă este un punct fix al  , care apare dacă  .

Toate numerele naturale   sunt rezultate intermediare pentru  , indiferent de bază. Aceasta deoarece dacă  , atunci

 

prin urmare

 

deoarece  . Dacă  , atunci rezultatul este trivial:

 .

Prin urmare, singurele rădăcini digitale posibile sunt numerele naturale   și nu există alte ciclări decât punctele fixe ale  .

În baza 12, 8 este rădăcina digitală a numărului 311010 (din baza 10):

 
 
 
 
 

Aceasta arată că 311010 = 197212. Acum, pentru  

 
 
 

arată că 1910 = 1712. Deoarece 812 este un număr format dintr-o singură cifră,

 .

Formule directe

modificare

Se poate defini rădăcina digitală direct pentru baza     în modul următor:

Formula de congruență

modificare

În baza   formula este:

 

sau,

 

În baza 10 secvența corespunzătoare este cea din Șirul A010888 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS).

Rădăcina digitală este valoarea modulo   deoarece   astfel că   deci, indiferent de poziție, valoarea   este aceeași —   — motiv pentru care cifrele pot fi adăugate în mod semnificativ. Concret, pentru un număr din trei cifre  

 .

Pentru a obține valoarea modulară față de alte numere  , se pot lua sumele ponderate, caz în care ponderea celei de a k-a cifră corespunde valorii din   modulo  . În baza 10 acest lucru este cel mai simplu pentru 2, 5 și 10, unde cifrele mai mari dispar (din moment ce 2 și 5 sunt divizori ai lui 10), ceea ce corespunde faptului că divizibilitatea unui număr zecimal în raport cu 2, 5 și 10 poate fi verificată de ultima cifră (de exeplu numerele pare se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8).

De asemenea, este de remarcat modulul  : din moment ce   există   astfel   luând suma alternativă a cifrelor rezultă valoarea modulo  .

Folosind funcția „partea întreagă”

modificare

Ajută să fie considerată rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv ca poziția față de cel mai mare multiplu al   mai mic ca numărul propriu-zis. De exemplu, în baza 6 rădăcina digitală a lui 116 este 2, ceea ce înseamnă că 116 este al doilea număr după  . La fel, în baza 10 rădăcina digitală a anului 2035 este 1, ceea ce înseamnă că  . Dacă un număr produce o rădăcină digitală exact cât  , atunci numărul este un multiplu al  .

Având în vedere acest lucru, rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv   poate fi definită folosind funcția „partea întreagă”   drept

 

Proprietăți

modificare
  • Rădăcina digitală a   în baza   este rădăcina digitală a sumei rădăcinii digitale a   și a rădăcinii digitale a  . Această proprietate poate fi utilizată ca un fel de sumă de control, pentru a verifica dacă o sumă a fost efectuată corect.
 
  • Rădăcina digitală a   în baza   este congruentă cu diferența dintre rădăcina digitală a   și cea a   modulo  .
 
  • Rădăcina digitală a   în baza   este:
 
  • Rădăcina digitală a produsului numerelor strict pozitive formate dintr-o singură cifră   în baza   este dată de pătratul Vedic în baza  .
  • Rădăcina digitală a   în baza   este rădăcina digitală a produsului rădăcinilor digitale ale   și  .
 

Persistența aditivă

modificare

Persistența aditivă numără de câte ori trebuie efectuată suma cifrelor unui număr pentru a se ajunge la rădăcina sa digitală. De exemplu, persistența aditivă a numărului 2718 în baza 10 este 2: În primul pas se calculează  iar în al doilea  .

Nu există vreo limită pentru persistența aditivă a numerelor dintr-o bază  .

Demonstrație: Pentru un număr   dat, persistența numărului format din   repetări ale cifrei 1 este  . Cele mai mici numere cu persistență aditivă 0, 1, ... în baza 10 sunt:

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... [1]

Următorul număr din secvență (cel mai mic număr cu persistența aditivă 5) este 2 × 102×(1022 − 1)/9 − 1 (adică 1 urmat de 2 222 222 222 222 222 222 222 cifre de 9). Pentru orice bază fixă, suma cifrelor unui număr este proporțională cu logaritmul său; prin urmare, persistența aditivă este proporțională cu logaritmul său iterat.[2]

Exemplu de programare

modificare

Exemplul de mai jos implementează suma cifrelor descrisă în definiția de mai sus pentru a căuta rădăcini digitale și persistențe aditive în Python.

def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + (x % b)
        x = x // b
    return total

def digital_root(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return x

def additive_persistence(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return len(seen) - 1
  1. ^ Șirul A006050 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ Meimaris, Antonios (). On the additive persistence of a number in base p. Preprint. 

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare