Rădăcină digitală
Rădăcina digitală (sau suma digitală repetată) a unui număr natural într-o bază de numerație dată este valoarea (cu o singură cifră) obținută printr-un proces iterativ de însumare a cifrelor, la fiecare iterație folosind rezultatul din iterația anterioară pentru a calcula suma cifrelor. Procesul continuă până se ajunge la un număr format dintr-o singură cifră.
Definiția formală
modificareFie un număr natural. În baza , se definește suma cifrelor în modul următor:
unde este numărul de cifre ale numărului din baza , iar
este valoarea fiecărei cifre a numărului. Un număr natural este rădăcina digitală dacă este un punct fix al , care apare dacă .
Toate numerele naturale sunt rezultate intermediare pentru , indiferent de bază. Aceasta deoarece dacă , atunci
prin urmare
deoarece . Dacă , atunci rezultatul este trivial:
- .
Prin urmare, singurele rădăcini digitale posibile sunt numerele naturale și nu există alte ciclări decât punctele fixe ale .
Exemplu
modificareÎn baza 12, 8 este rădăcina digitală a numărului 311010 (din baza 10):
Aceasta arată că 311010 = 197212. Acum, pentru
arată că 1910 = 1712. Deoarece 812 este un număr format dintr-o singură cifră,
- .
Formule directe
modificareSe poate defini rădăcina digitală direct pentru baza în modul următor:
Formula de congruență
modificareÎn baza formula este:
sau,
În baza 10 secvența corespunzătoare este cea din Șirul A010888 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS).
Rădăcina digitală este valoarea modulo deoarece astfel că deci, indiferent de poziție, valoarea este aceeași — — motiv pentru care cifrele pot fi adăugate în mod semnificativ. Concret, pentru un număr din trei cifre
- .
Pentru a obține valoarea modulară față de alte numere , se pot lua sumele ponderate, caz în care ponderea celei de a k-a cifră corespunde valorii din modulo . În baza 10 acest lucru este cel mai simplu pentru 2, 5 și 10, unde cifrele mai mari dispar (din moment ce 2 și 5 sunt divizori ai lui 10), ceea ce corespunde faptului că divizibilitatea unui număr zecimal în raport cu 2, 5 și 10 poate fi verificată de ultima cifră (de exeplu numerele pare se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8).
De asemenea, este de remarcat modulul : din moment ce există astfel luând suma alternativă a cifrelor rezultă valoarea modulo .
Folosind funcția „partea întreagă”
modificareAjută să fie considerată rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv ca poziția față de cel mai mare multiplu al mai mic ca numărul propriu-zis. De exemplu, în baza 6 rădăcina digitală a lui 116 este 2, ceea ce înseamnă că 116 este al doilea număr după . La fel, în baza 10 rădăcina digitală a anului 2035 este 1, ceea ce înseamnă că . Dacă un număr produce o rădăcină digitală exact cât , atunci numărul este un multiplu al .
Având în vedere acest lucru, rădăcina digitală a unui număr întreg pozitiv poate fi definită folosind funcția „partea întreagă” drept
Proprietăți
modificare- Rădăcina digitală a în baza este rădăcina digitală a sumei rădăcinii digitale a și a rădăcinii digitale a . Această proprietate poate fi utilizată ca un fel de sumă de control, pentru a verifica dacă o sumă a fost efectuată corect.
- Rădăcina digitală a în baza este congruentă cu diferența dintre rădăcina digitală a și cea a modulo .
- Rădăcina digitală a în baza este:
- Rădăcina digitală a produsului numerelor strict pozitive formate dintr-o singură cifră în baza este dată de pătratul Vedic în baza .
- Rădăcina digitală a în baza este rădăcina digitală a produsului rădăcinilor digitale ale și .
Persistența aditivă
modificarePersistența aditivă numără de câte ori trebuie efectuată suma cifrelor unui număr pentru a se ajunge la rădăcina sa digitală. De exemplu, persistența aditivă a numărului 2718 în baza 10 este 2: În primul pas se calculează iar în al doilea .
Nu există vreo limită pentru persistența aditivă a numerelor dintr-o bază .
Demonstrație: Pentru un număr dat, persistența numărului format din repetări ale cifrei 1 este . Cele mai mici numere cu persistență aditivă 0, 1, ... în baza 10 sunt:
- 0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... [1]
Următorul număr din secvență (cel mai mic număr cu persistența aditivă 5) este 2 × 102×(1022 − 1)/9 − 1 (adică 1 urmat de 2 222 222 222 222 222 222 222 cifre de 9). Pentru orice bază fixă, suma cifrelor unui număr este proporțională cu logaritmul său; prin urmare, persistența aditivă este proporțională cu logaritmul său iterat.[2]
Exemplu de programare
modificareExemplul de mai jos implementează suma cifrelor descrisă în definiția de mai sus pentru a căuta rădăcini digitale și persistențe aditive în Python.
def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
total = 0
while x > 0:
total = total + (x % b)
x = x // b
return total
def digital_root(x: int, b: int) -> int:
seen = set()
while x not in seen:
seen.add(x)
x = digit_sum(x, b)
return x
def additive_persistence(x: int, b: int) -> int:
seen = set()
while x not in seen:
seen.add(x)
x = digit_sum(x, b)
return len(seen) - 1
Note
modificare- ^ Șirul A006050 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
- ^ Meimaris, Antonios (). On the additive persistence of a number in base p. Preprint.
Bibliografie
modificare- en Averbach, Bonnie; Chein, Orin (), Problem Solving Through Recreational Mathematics , Dover Books on Mathematics (ed. reprinted), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp. 125–127, ISBN 0-486-40917-1 (online copy, p. 125, pe Google Books)
- en Ghannam, Talal (), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, pp. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, arhivat din original la , accesat în (online copy, p. 68, pe Google Books)
- en Hall, Frederick Michael (), An Introduction into Abstract Algebra, 1 (ed. 2nd), Cambridge, U.K.: CUP Archive, p. 101, ISBN 978-0-521-29861-2 (online copy, p. 101, pe Google Books)
- en O'Beirne, T. H. (), „Puzzles and Paradoxes”, New Scientist, Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN 0262-4079 (online copy, p. 53, pe Google Books)
- en Rouse Ball, Walter William Rouse Ball; Coxeter, H.S.M. (), Mathematical Recreations and Essays, Dover Recreational Mathematics (ed. 13th), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2 (online copy pe Google Books)