Sedenion

În algebra abstractă, sedenionii formează structuri algebrice cu 16 dimensiuni, și sunt obținuți prin aplicarea Construcției Cayley-Dickson, studiate de Smith. În general, sedenionii se notează cu $\mathbb {S}$.

Sedenionii Cayley-Dickson

La fel ca octonionii Cayley-Dickson, înmulțirea sedenionilor Cayley-Dickson nu este nici comutativă, nici asociativă. Dar, în comparație cu octonionii, sedenionii nu au proprietatea de a deveni alternativi. Totuși, ei au proprietatea unei puternice asociativități, care poate fi declarată pentru orice element x din $\mathbb {S}$, unde puterea $x^{n}$ este bine definită. De asemenea, ei sunt și flexibili. Orice sedenion este o combinație liniară reală a unității 1, e₁, e₂, e₃, ..., și e₁₅, care formează o bază a spațiului vectorial al sedenionilor.

Sedenionii au elementul neutru multiplicativ 1 și nu au nici un divizor. Asta înseamnă că două numere nenule pot fi înmulțite pentru a obține zero: de exemplu (e₃ + e₁₀)×(e₆ − e₁₅). Toate sistemele de numere hipercomplexe bazate pe construcția Cayley-Dickson de la sedenioni mai departe nu au nici un divizor.

Tabla înmulțirii a sedenionilor arată în felul următor:

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
e1	e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	-e7	e6	e9	−e8	-e11	e10	-e13	e12	e15	−e14
e2	e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	-e5	e10	e11	−e8	-e9	-e14	−e15	e12	e13
e3	e3	e2	−e1	−1	e7	-e6	e5	−e4	e11	-e10	e9	-e8	-e15	e14	−e13	e12
e4	e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	−e8	−e9	−e10	−e11
e5	e5	e4	-e7	e6	−e1	−1	-e3	e2	e13	−e12	e15	−e14	e9	−e8	e11	−e10
e6	e6	e7	e4	-e5	−e2	e3	−1	-e1	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	−e8	e9
e7	e7	-e6	e5	e4	−e3	-e2	e1	−1	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	−e8
e8	e8	−e9	−e10	−e11	−e12	−e13	−e14	−e15	−1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	-e11	e10	−e13	e12	e15	−e14	−e1	−1	-e3	e2	−e5	e4	e7	−e6
e10	e10	e11	e8	-e9	−e14	−e15	e12	e13	−e2	e3	−1	-e1	−e6	−e7	e4	e5
e11	e11	-e10	e9	e8	−e15	e14	−e13	e12	−e3	-e2	e1	−1	−e7	e6	−e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	−e9	−e10	−e11	−e4	e5	e6	e7	−1	-e1	-e2	-e3
e13	e13	-e12	e15	−e14	e9	e8	e11	−e10	−e5	−e4	e7	−e6	e1	−1	e3	−e2
e14	e14	−e15	-e12	e13	e10	−e11	e8	e9	−e6	−e7	−e4	e5	e2	−e3	−1	e1
e15	e15	e14	−e13	-e12	e11	e10	−e9	e8	−e7	e6	−e5	−e4	e3	e2	−e1	−1

Aplicații

Moreno a arătat că spațiul cu norma 1 la sedenioni este homeomorf pentru forma compactă a Grupului Lie.

Bibliografie

• en Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), „Sedenions: algebra and analysis”, Applied mathematics and computation, 115 (2): 77–88, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR 1786945 
• en Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20. [1]
• en Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
• en Moreno, Guillermo (1998), „The zero divisors of the Cayley–Dickson algebras over the real numbers”, Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013 , MR 1625585 
• en Smith, Jonathan D. H. (1995), „A left loop on the 15-sphere”, Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, doi:10.1006/jabr.1995.1237, MR 1345298 

Vezi și

• Număr hipercomplex
• Cuaternion
• Octonion