Semigrup nul

semigrup cu element absorbant, produsul oricăror două elemente fiind zero

În matematică, un semigrup nul este un semigrup cu un element absorbant, numit zero, în care produsul oricăror două elemente este zero.[1] Dacă fiecare element al unui semigrup este un zero la stânga, atunci semigrupul se numește semigrup nul la stânga; un semigrup nul la dreapta fiind definit analog.[2][3] Potrivit lui Clifford și Preston, „În ciuda trivialității lor, aceste semigrupuri apar în mod natural într-o serie de cercetări”.[1]

Table Cayley

modificare

Fie S un semigrup cu elementul zero 0. Atunci S se numește semigrup nul dacă   pentru toate x și y din S.

Tabla Cayley pentru un semigrup nul

modificare

Fie S = {0, a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul. Atunci tabla Cayley⁠(d) pentru S este prezentată mai jos:

Tabla Cayley pentru un semigrup nul
0 a b c
0 0 0 0 0
a 0 0 0 0
b 0 0 0 0
c 0 0 0 0

Semigrup nul la stânga

modificare

Un semigrup în care orice element este un element zero la stânga se numește semigrup nul la stânga.[2] Astfel, un semigrup S este un semigrup nul la stânga dacă   pentru toate x și y din S.

Tabla Cayley pentru un semigrup nul la stânga

modificare

Fie S = {a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul la stânga. Atunci tabla Cayley pentru S este prezentată mai jos:

Tabla Cayley pentru un semigrup nul la stânga
a b c
a a a a
b b b b
c c c c

Semigrup nul la dreapta

modificare

Un semigrup în care orice element este un element zero la dreapta se numește semigrup nul la dreapta.[2] Astfel, un semigrup S este un semigrup nul la dreapta dacă   pentru toate x și y din S.

Tabla Cayley pentru un semigrup nul la dreapta

modificare

Fie S = {a, b, c} mulțimea subiacentă a unui semigrup nul la dreapta. Atunci tabla Cayley pentru S este prezentată mai jos:

Tabla Cayley pentru un semigrup nul la dreapta
a b c
a a b c
b a b c
c a b c

Proprietăți

modificare

Un semigrup nul netrivial (la stânga / la dreapta / zero) nu conține un element neutru. Rezultă că singurul monoid nul (la stânga / la dreapta / zero) este monoidul trivial.

Clasa semigrupurilor nule este:

  • închisă pentru subsemigrupuri;
  • închisă pentru câturi ale subsemigrupurilor;
  • închisă pentru produse directe⁠(d) arbitrare.

Rezultă că clasa semigrupurilor nule (la stânga / la dreapta / zero) este o varietate din algebra universală⁠(d), și astfel o varietate de semigrupuri finite⁠(d). Varietatea semigrupurilor nule finite este definită de identitatea  .

  1. ^ a b en A H Clifford; G B Preston (). The algebraic theory of semigroups Vol I. mathematical Surveys. 1 (ed. 2). American Mathematical Society. pp. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4. 
  2. ^ a b c Adina Pop, Contribuții la teoria (n, m)-semiinelelor și n−semigrupurilor (teză de doctorat, 2014, p. 25), Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-10-07
  3. ^ en M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN: 3-11-015248-7, p. 19