Spin ½ și matricile lui Pauli

Matricile lui Pauli sunt un ansamblu de trei matrici hermitice 2×2 care apar în teoria cuantică nerelativistă a particulelor de spin cum este electronul.

Spinul electronului

modificare

Ipoteza existenței unui moment cinetic al electronului, rezultând din rotația (în engleză: spin) sarcinii electronului în jurul axei proprii, a fost formulată în 1925 de Ralph Kronig, fiind formulate imediat obiecții de Wolfgang Pauli, pe baza faptului că viteza de rotație a electronului necesară pentru a obține valori acceptabile ale momentului cinetic ar fi în contradicție cu teoria relativității. În consecință, Kronig nu a publicat ideea, care însă a fost regăsită și publicată, independent, de George Uhlenbeck și Samuel Goudsmit, câteva luni mai târziu. În anii următori, existența spinului electronului a fost acceptată, ca moment cinetic intrinsec, diferit de momentul cinetic orbital (acesta din urmă fiind definit în raport cu poziția și impulsul particulei). Teoria spinului electronic a fost formulată în 1927 de Pauli, în cadrul mecanicii cuantice nerelativiste. În teoria cuantică relativistă, spinul   nu necesită o ipoteză specială: el rezultă, ca proprietate intrinsecă, din ecuația lui Dirac.

Spinul electronului a oferit, a posteriori, explicația rezultatelor obținute în experimentul Stern-Gerlach (1922) pentru momentul magnetic al electronului. Astăzi, experimentul Stern-Gerlach este privit ca justificare a priori a spinului electronic.[1]

Teoria spinului ½

modificare
 
Wolfgang Pauli

Spinul electronului este descris de un operator hermitic, vector axial,  , care satisface relațiile de comutare caracteristice pentru orice moment cinetic:

 
 

Valori proprii și vectori proprii

modificare

Datele experimentale duc la concluzia că proiecția spinului electronului pe o direcție oarecare poate avea numai două valori:  , deci spațiul stărilor de spin este un spațiu vectorial complex bidimensional. Vectorii proprii  , comuni pentru operatorii   și  , satisfac ecuațiile

 

unde

 

În calcule e convenabilă utilizarea operatorului adimensional

 

și notația simplificată

 

Vectorii   și   corespund unor valori proprii diferite ale operatorului  :

 

deci sunt automat ortogonali; presupunând că sunt și normați, ei constituie o bază ortonormată în spațiul stărilor de spin ale electronului.

Matricile lui Pauli

modificare

În baza  , operatorii de spin   sunt reprezentați prin matricile lui Pauli

 

Proprietățile enumerate mai jos, care pot fi verificate prin calcul direct, sunt importante în aplicații.[2]

 
 
 
 
 

Pentru doi vectori oarecare   și   este valabilă identitatea

 

Orice matrice 2×2 poate fi scrisă ca o combinație liniară a matricii unitate și celor trei matrici Pauli.

Funcție de stare

modificare

Drept consecință a faptului că spinul reprezintă un grad de libertate independent de mișcarea orbitală, spațiul stărilor devine produsul direct dintre spațiul configurațiilor (în care acționează operatorii asociați observabilelor ca poziție, impuls, moment cinetic orbital, ...) și spațiul bidimensional al spinului (în care acționează operatorii de spin). Funcția de stare a electronului depinde de variabilele de poziție   și de o variabilă de spin  , care poate lua două valori (de exemplu plus și minus), în funcție de proiecția spinului pe axa 3; ea poate fi scrisă în baza   sub forma

 

Presupunând că este satisfăcută condiția de normare

 

din formalismul general al mecanicii cuantice rezultă următoarea interpretare statistică:   reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum   în jurul punctului cu vector de poziție   și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu   La fel,   reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum   în jurul punctului cu vector de poziție   și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu  

Funcția de stare cu două componente a unei particule de spin   caracterizată prin modul în care componentele sale se transformă la o rotație spațială, se numește spinor.[3]

Moment magnetic de spin

modificare

Experimentul Stern-Gerlach și analiza făcută de Kronig, Uhlenbeck și Goudsmit au pus în evidență faptul că electronul (de masă   și sarcină electrică  ) posedă un moment cinetic intrinsec   cu care este asociat un moment magnetic

  [4]

Mecanica cuantică nerelativistă indică   în bun acord cu experimentul. Faptul că această valoare pentru factorul Landé este dublă față de valoarea   corespunzătoare momentului cinetic orbital este cunoscut ca „anomalia magnetică a spinului”.[5] Corecțiile relativiste indică   în excelent acord cu determinări experimentale moderne.

  1. ^ Țițeica, pp. 232–233.
  2. ^ Messiah, p. 466; Țițeica, p. 234.
  3. ^ Țițeica, pp. 236–241.
  4. ^ Factorul   de la numitor provine din folosirea sistemului de unități Gauss
  5. ^ Țițeica, p. 242.

Bibliografie

modificare
  • Messiah, Albert: Mécanique quantique, Tome II, Dunod, Paris, 1964.
  • Țițeica, Șerban: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.

Legături externe

modificare