Teorema Brunn-Minkowski
| Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În matematică, teorema Brunn–Minkowski (sau inegalitatea Brunn–Minkowski) este o inegalitate referitoare la volumele (sau mai general măsuri Lebesgue ) de submulțimi compacte de spații Euclidiene. Versiunea originală a teoremei Brunn–Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) aplicată la mulțimile convexe. Generalizarea la seturi neconvexe compacte i se datorează L. A. Lusternik (1935).
Formularea teoremei
modificareFie n ≥ 1 și fie ca μ să indice măsura Lebesgue pe Rn. Fie A și B două submulțimi nevide compacte din Rn. Atunci are loc inegalitatea:
![{\displaystyle [\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600ca92c51283182b88385b0d402fc4b8204070e)
unde A + B indică suma Minkowski:
Observație
modificareDemonstrația teoremei Brunn–Minkowski stabilește că funcția
![{\displaystyle A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e03ac4e0f7123c939ec77e61e83b4cfc2bb277)
este concavă în sensul că pentru fiecare pereche nevidă de mulțimi compacte A și B din Rn și fiecare 0 ≤ t ≤ 1,
![{\displaystyle \left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a84a17a85ba77d4bfca93992597403428d031e)
Pentru mulțimile convexe A și B inegalitatea din teoremă este strictă pentru 0 < t < 1 doar dacă A și B sunt omotetice, adică sunt egale până la translație și scalare.
Bibliografie
modificare- Brunn, H. (). „Über Ovale und Eiflächen”. Inaugural Dissertation, München.
- Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Berlin: 1. Verlag von Julius Springer.
- Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates.
- Dacorogna, Bernard (). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
- Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
- Lyusternik, Lazar A. (). „Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen”. Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série). III: 55–58.
- Minkowski, Hermann (). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner.
- Ruzsa, Imre Z. (). „The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets”. Geometriae Dedicata. 67 (3). pp. 337–348. doi:10.1023/A:1004958110076. MR 1475877.
- Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
