Deschide meniul principal

Teorema Gauss-Bonnet, sau formula Gauss-Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Cuprins

Forma localăModificare

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie   o regiune simplă și   parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât  

Fie   vârfurile lui   unghiurile exterioare corespunzătoare,  

Atunci are loc formula:

 

unde   este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui   K este curbura gaussiană și   este elementul de suprafață.

DemonstrațieModificare

Fie   (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

 

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1Modificare

 

Lema 2Modificare

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe   și   unghiul dintre   și X. Atunci:

 

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile   și  :

 

Atunci   și, conform lemei 1,

 

Legături externeModificare