Teorema Gauss–Bonnet

Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie $R\subset h(U)\!$ o regiune simplă și $\gamma :[0,l]\rightarrow S\!$ parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât $\partial R=Im\gamma .\!$

Fie $\gamma (s_{i})\!$ vârfurile lui $\gamma ,\theta _{i}\!$ unghiurile exterioare corespunzătoare, $i={\overline {0,k+1}}.\!$

Atunci are loc formula:

$\sum _{i=0}^{k}\int _{s_{i}}^{s_{i+1}}k_{g}(s)+\int \int _{R}K\;ds+\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=2\pi \!$

unde $k_{g}\!$ este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui $\gamma ,\!$ K este curbura gaussiană și $d\sigma \!$ este elementul de suprafață.

Demonstrație

Fie $X=\gamma '(s)\!$ (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

${\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla \gamma '(s)}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}=k_{g}(s).\!$

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1

${\bigg [}{\frac {\nabla Y}{dt}}{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\frac {d\varphi }{dt}}\!$

Lema 2

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe $\gamma \!$ și $\varphi \!$ unghiul dintre $h_{1}\!$ și X. Atunci:

${\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {t}}}}{\bigg ]}={\frac {1}{2{\sqrt {g_{11}g_{22}}}}}{\bigg \{}{\frac {\partial g_{22}}{\partial u^{1}}}{\frac {du^{2}}{dt}}-{\frac {\partial g_{11}}{\partial u^{2}}}{\frac {du^{1}}{dt}}{\bigg \}}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!$

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile $h_{1}\!$ și $h_{2}\!$:

$e_{1}={\frac {h_{1}}{\sqrt {g_{11}}}},\;e_{2}={\frac {h_{1}}{\sqrt {g_{22}}}}.\!$

Atunci $e_{1}\times e_{2}=N\!$ și, conform lemei 1,

${\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla e_{1}}{dt}}{\bigg ]}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!$

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• en Maths.Manchester.ac.uk^{[nefuncțională]}