Curbură geodezică

mărime care indică cât de departe este o curbă de a fi o geodezică

În geometria riemanniană⁠(d) curbura geodezică a unei curbe măsoară cât de departe este curba de a fi o geodezică. De exemplu, pentru o curbă unidimensională de pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional, este curbura curbei proiectată pe planul tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate dată, curbura geodezică este doar curbura obișnuită a curbei (vezi mai jos). Totuși, când curba este restricționată să se afle pe o subvarietate a (de exemplu, la curbele de pe suprafețe), curbura geodezică se referă la curbura în și în general este diferită de curbura din varietatea ambientală . Curbura (ambientală) a depinde de doi factori: curbura subvarietății în direcția (curbura normală ), care depinde numai de direcția curbei și de curbura văzută în (curbura geodezică ), care este o mărime de ordinul al doilea. Relația dintre acestea este . În special, geodezicele de pe au curbură geodezică zero (sunt „drepte”), astfel încât , ceea ce explică de ce par curbate în spațiul ambiental ori de câte ori subvarietatea este curbată.

Definiție modificare

Fie o curbă   într-o varietate  , parametrizată prin lungimea arcului⁠(d), cu versorul tangent  . Curbura sa este norma derivatei covariante⁠(d) a  :  . Dacă   se află pe  , curbura geodezică este norma proiecției derivatei covariante   pe spațiul tangent la subvarietate. Invers, curbura normală este norma proiecției   pe fibratul normal la subvarietate în punctul considerat.

Dacă varietatea ambientală este spațiul euclidian  , atunci derivata covariantă   este chiar derivata obișnuită  .

Exemplu modificare

Fie   sfera unitate   in spațiul euclidian tridimensional. Curbura normală a lui   este 1, independent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură  , deci au curbură geodezică zero, prin urmare sunt geodezice. Cercurile mai mici cu raza   vor avea curbură   și curbură geodezică  .

Unele rezultate care implică curbura geodezică modificare

  • Curbura geodezică nu este alta decât curbura obișnuită a curbei atunci când este calculată intrinsec în subvarietatea  . Nu depinde de modul în care subvarietatea   se află în  .
  • Geodezicele   au curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că   este ortogonală cu spațiul tangent la  .
  • Pe de altă parte, curbura normală depinde foarte mult de modul în care se află subvarietatea în spațiul ambiental, dar marginal de curbă:   depinde doar de punctul de pe subvarietate și de direcția  , dar nu de  .
  • În geometria generală riemanniană, derivata este calculată folosind conexiunea Levi-Civita   a varietății ambientale:  . Ea are o parte tangentă și o parte normală la subvarietate:  . Partea tangentă este derivata obișnuită   din   (este un caz particular de ecuație Gauss din ecuațiile Gauss–Codazzi⁠(d)), în timp ce partea normală este  , unde   este a doua formă fundamentală.
  • Teorema Gauss–Bonnet.

Bibliografie modificare

  • en do Carmo, Manfredo P. (), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7 
  • en Guggenheimer, Heinrich (), „Surfaces”, Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7 .
  • en Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Geodesic curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

Legături externe modificare