Teoria eliminării

În algebra comutativă și geometria algebrică, teoria eliminării este denumirea clasică pentru abordările algoritmice de eliminare a unor variabile între polinoamele de mai multe variabile, pentru a rezolva sistemele de ecuații polinomiale^⁠(d).

Teoria clasică a eliminării a culminat cu lucrările lui Francis Macaulay asupra rezultanților^⁠(d) multivariabile, așa cum este descris în capitolul Elimination theory din primele ediții (1930) ale Moderne Algebra a lui Bartel van der Waerden. După aceea, teoria eliminării a fost ignorată de majoritatea geometrilor algebrici timp de aproape treizeci de ani, până la introducerea unor noi metode de rezolvare a ecuațiilor polinomiale, cum ar fi bazele Gröbner^⁠(d), care erau necesare pentru calculul formal^⁠(d).

Istoric și legătură cu teoriile moderne

Domeniul teoriei eliminării a fost motivat de necesitatea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații polinomiale.

Unul dintre primele rezultate a fost teorema lui Bézout, care mărginește numărul de soluții (în cazul a două polinoame în două variabile).

Cu excepția teoremei lui Bézout, abordarea generală a fost „eliminarea” variabilelor pentru a reduce problema la o singură ecuație într-o variabilă.

Cazul ecuațiilor liniare a fost rezolvat complet prin eliminarea gaussiană^⁠(d), unde metoda mai veche a regulii lui Cramer^⁠(d) nu procedează prin eliminare și funcționează numai atunci când numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile. În secolul al XIX-lea, aceasta a fost extinsă pentru ecuațiile diofantice^⁠(d) liniare și grupuri abeliene cu forma normală Hermite^⁠(d) și forma normală Smith^⁠(d).

Înainte de secolul al XX-lea, au fost introduse diferite tipuri de eliminanți, inclusiv rezultanți^⁠(d) și diferite tipuri de discriminanți^⁠(d). În general, acești eliminanți sunt, de asemenea, invarianți^⁠(d) la diferite modificări ale variabilelor și sunt, de asemenea, fundamentali în teoria invarianților^⁠(d).

Toate aceste concepte sunt eficiente, în sensul că definițiile lor oferă o metodă de calcul. În jurul anului 1890, David Hilbert a introdus metode ineficiente, iar aceasta a fost văzută ca o revoluție, care a determinat majoritatea geometrilor algebrici din prima jumătate a secolului al XX-lea să încerce „eliminarea eliminării”. Totuși, teorema zerourilor a lui Hilbert^⁠(d), poate fi considerată ca aparținând teoriei eliminării, deoarece afirmă că un sistem de ecuații polinomiale nu are nicio soluție dacă și numai dacă se pot elimina toate necunoscutele pentru a obține ecuația constantă 1 = 0.

Teoria eliminării a culminat cu lucrările lui Leopold Kronecker și, în cele din urmă, a lui Macaulay, care a introdus rezultanți multivariabilă și U-rezultanți, oferind metode complete de eliminare pentru sistemele de ecuații polinomiale, care sunt descrise în capitolul Teoria eliminării din primele ediții (1930) ale Algebrei moderne de van der Waerden.

Ulterior, teoria eliminării a fost considerată de modă veche și eliminată din edițiile ulterioare ale Algebrei moderne. În general, a fost ignorată până la introducerea computerelor, mai precis a calculului formal^⁠(d), care a dus la proiectarea algoritmilor eficienți de eliminare, nu doar la determinarea existenței și la rezultate structurale. Principalele metode pentru această reînnoire a teoriei eliminării sunt bazele Gröbner^⁠(d) și descompunerea algebrică cilindrică, introduse în jurul anului 1970.

Bibliografie

• en Israel Gelfand, Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x+523 pp. ISBN: 0-8176-3660-9
• en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• en David Cox, John Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry. Revised second edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer-Verlag, 2005, xii+558 pp., ISBN: 978-0-387-20733-9