Transformare echiareală

În geometria diferențială o transformare echiareală este o transformare netedă^⁠(d) dintr-o suprafață la alta, transformare care conservă ariile figurilor.

Proprietăți

Dacă M și N sunt două suprafețe în spațiul euclidian R³, atunci o transformare echiareală f poate fi caracterizată prin oricare dintre următoarele condiții echivalente:

• Aria suprafeței f(U) este egală cu aria U pentru fiecare mulțime deschisă U din M.
• În fiecare punct p din M și vectorii tangenți v și w la p din M,

$|df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=|v\times w|\,$

unde × indică produsul vectorial euclidian al vectorilor iar df este aproximarea funcției f în planul tangent local.

Exemple

Un exemplu de transformare echiareală, datorată lui Arhimede, este proiecția din sfera unitate x² + y² + z² = 1 pe cilindrul unitate x² + y² = 1 față de axa lor comună. O formulă explicită este

$f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)$

pentru (x, y, z) un punct de pe sfera unitate.

Transformări liniare

Orice izometrie euclidiană a planului euclidian este echiareală, dar invers nu este adevărat. Contraexemple la afirmația inversă sunt transformarea de forfecare^⁠(d) sau rotație hiperbolică^⁠(d).

Forfecarea transformă un dreptunghi într-un paralelogram cu aceeași arie. Scrisă sub formă de matrice, o transformare de forfecare de-a lungul axei x este

${\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.$

Rotația hiperbolică prelungește și contractă laturile unui dreptunghi într-o astfel de manieră încât aria să se conserve. Scris sub formă de matrice, cu λ > 1 rotația hiperbolică este

${\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}$

O transformare liniară ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ înmulțește aria cu valoarea absolută a determinantului său, |ad – bc|.

Eliminarea gaussiană^⁠(d) arată că orice transformare liniară echiareală (inclusiv rotațiile) poate fi obținută prin compunerea a cel mult două forfecări de-a lungul axelor, o rotație hiperbolică și (dacă determinantul este negativ), o reflexie.

În proiecțiile cartografice

În contextul hărților, o proiecție cartografică echiareală se numește echivalentă dacă ariile sunt conservate până la un factor constant. La încorporarea hărții avută în vedere, în mod evident în R³, dar de obicei considerată un subset al lui R², cerința de mai sus este relaxată la:

$|df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|$

pentru unele κ > 0 care nu depind de $v$ și $w$.

Bibliografie

• en Pressley, Andrew (2001), Elementary differential geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, London: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, MR 1800436