142857 (număr)

număr ciclic
← 142856 142857 142858 →
Cardinalo sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șapte
Ordinal125-lea
o sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șaptelea
Factorizare33· 11 · 13 · 37
Divizori1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Cifre romaneCXLMMDCCCLVII
Binar1000101110000010012
Ternar210202220003
Cuaternar2023200214
Cvinariu140324125
Senar30212136
Octal4270118
Duodecimal6A80912
Hexazecimal22E0916
VigesimalHH2H20
Baza 36328936

Numărul 142857 este perioada fracției 1/7 = 0,(142857). Este cel mai bine cunoscut număr ciclic în baza 10.[1][2][3][4] Dacă este înmulțit cu 2, 3, 4, 5 sau 6, rezultatul va fi o permutare ciclică a lui însuși și va corespunde perioadelor lui 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, respectiv 6/7.

Este un număr Kaprekar.[5]

1 × 142857 = 142857
2 × 142857 = 285714
3 × 142857 = 428571
4 × 142857 = 571428
5 × 142857 = 714285
6 × 142857 = 857142
7 × 142857 = 999999

Dacă se înmulțește cu un număr întreg mai mare de 7, există un proces simplu pentru a ajunge la o permutare ciclică de 142857. Adăugând cele șase cifre din dreapta (de la unu la suta de mii) la cifrele rămase și repetând acest proces până când rămân doar șase cifre, va avea ca rezultat o permutare ciclică de 142857:

142857 × 8 = 1142856
1 + 142856 = 142857
142857 × 815 = 116428455
116 + 428455 = 428571
1428572 = 142857 × 142857 = 20408122449
20408 + 122449 = 142857

Prin acest proces, înmulțirea cu un multiplu de 7 va avea ca rezultat 999999:

142857 × 74 = 342999657
342 + 999657 = 999999

Dacă se ridică la pătrat ultimele trei cifre și apoi se scade pătratul primelor trei cifre se obține o permutare ciclică a numărului.

8572 = 734449
1422 = 20164
734449 − 20164 = 714285

Este perioada zecimală a numărului rațional 1/7 = 0,(142857). Astfel, multiplii lui 1/7 sunt copii repetate ale multiplilor corespunzători ai lui 142857:

 

Legătura cu eneagrama

modificare

Șirul de numere 142857 este folosit în eneagrama din Fourth Way de Georges Ivanovitch Gurdjieff pentru a explica și vizualiza dinamica interacțiunii dintre cele două mari legi ale Universului (conform lui Gurdjieff), „Legea lui Trei” și „Legea lui Șapte”. Mișcarea numerelor lui 142857 împărțit la 1/7, 2/7 etc. și mișcarea ulterioară a eneagramei sunt descrise în dansurile sacre ale lui Gurdjieff cunoscute sub numele de „mișcări”.[6]

  1. ^ en „Cyclic number”. The Internet Encyclopedia of Science. Arhivat din original la . 
  2. ^ en Ecker, Michael W. (martie 1983). „The Alluring Lore of Cyclic Numbers”. The Two-Year College Mathematics Journal. 14 (2): 105–109. doi:10.2307/3026586. JSTOR 3026586. 
  3. ^ en „Cyclic number”. PlanetMath. Arhivat din original la . 
  4. ^ en Hogan, Kathryn (august 2005). „Go figure (cyclic numbers)”. Australian Doctor. Arhivat din original la . 
  5. ^ Șirul A006886 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  6. ^ en Ouspensky, P. D. (). „Chapter XVIII”. In Search of the Miraculous: Fragments of an Unknown Teaching. London: Routledge. 

Bibliografie

modificare