În geometrie un apeiroedru regulat este un poliedru cu un număr infinit de fețe (apeiroedru), cu fie fețe regulate strâmbe, fie cu figuri ale vârfului strâmbe regulate.

Conform lui Coxeter, în 1926 John Flinders Petrie a generalizat conceptul de poligoane strâmbe regulate (poligoane necoplanare) la „poliedre strâmbe” (apeiroedre) în spațiul cvadridimensional, respectiv apeiroedre regulate în spațiul tridimensional[1] (descrise mai jos).

Coxeter a identificat 3 forme, cu fețe plane și figuri ale vârfului strâmbe, două sunt complementare una față de cealaltă. Acestea sunt notate cu un simbol Schläfli modificat {l,m|n}, unde {l,m} este figura vârfului (un apeirogon în zigzag care șerpuiește în zigzag între două plane) cu fețe l-gonale, m fețe în jurul fiecărui vârf, și cu goluri identificate ca fețe n-gonale care lipsesc.

Apeiroedrele regulate, reprezentate prin {l,m|n}, au ecuația:

 

Apeiroedrele regulate din spațiul euclidian tridimensional

modificare

Cele trei soluții euclidiene în spațiul tridimensional sunt {4,6|4}, {6,4|4} și {6,6|3}. John Conway le-a numit mucub, muoctaedru și, respectiv, mutetraedru pentru cubul, octaedrul și tetraedrul multiplu.[2]

  1. Mucub: {4,6|4}: 6 pătrate la fiecare vârf (legat de fagurele cubic, format din celule cubice, prin înlăturarea a câte două fețe opuse din fiecare și aranjând câte un set de șase în jurul unui cub fără fețe.)
  2. Muoctaedru: {6,4|4}: 6 hexagoane la fiecare vârf (legat de fagurele cubic bitrunchiat, format din celule octaedrice trunchiate, prin înlăturarea fețelor lor pătrate și lipind între ele golurile.)
  3. Mutetraedru: {6,6|3}: 6 hexagoane la fiecare vârf (legat de fagurele cubic pe sfert, format din celule tetraedrice trunchiate, prin înlăturarea fețelor lor triunghiulare și aranjând câte un set de patru în jurul unui tetraedru fără fețe.)

Coxeter dă aceste apeiroedre regulate {2q,2r|p} cu simetrie chirală extinsă [[(p,q,p,r)]+] despre care spune că sunt izomorfe cu grupul abstract (2q,2r|2,p). Fagurele aferent are simetria extinsă [[(p,q,p,r)]].[3]

Apeiroedre regulate compacte
Grup Coxeter
de simetrie
Apeiroedru
{p,q|l}
Imagine Față
{p}
Gol
{l}
Figura
vârfului
Legat de
fagurele
   
[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]
{4,6|4}
Mucub
 
animație
         
t0,3{4,3,4}
 
{6,4|4}
Muoctaedru
 
animație
       
2t{4,3,4}
 
   
[[3[4]]]
[[3[4]]+]
{6,6|3}
Mutetraedru
 
animație
         
q{4,3,4}
 

Apeiroedre regulate în spațiul hiperbolic tridimensional

modificare

În 1967, C. W. L. Garner a identificat 31 de apeiroedre hiperbolice regulate având figurile vârfului poligoane strâmbe, găsite printr-o căutare similară cu cele 3 de mai sus din spațiul euclidian.[4]

Acestea sunt 14 apeiroedre compacte și 17 paracompacte în spațiu hiperbolic, construite din simetriile subseturilor grafurilor liniare și ciclice ale grupului Coxeter ale [[(p,q,p,r)]]. Acestea definesc poliedrele nealiniate regulate {2q,2r|p} și dualele {2r,2q|p}. Pentru cazul particular al grupului grafurilor liniare r = 2, acestea formează grupul Coxeter [p,q,p]. El generează apeiroedre regulate {2q,4|p} și {4,2q|p}. Toate acestea sunt subseturi ale fețelor fagurilor uniformi în spațiul hiperbolic.

Apeiroedrul are aceeași figură a vârfului antiprismatică cu fagurele, dar sunt realizate doar fețele laturilor în zigzag ale figurii vârfului, în timp ce celelalte fețe produc „goluri”.

14 apeiroedre regulate compacte
Grup
Coxeter
Apeiroedru
{p,q|l}
Față
{p}
Gol
{l}
Fagure Figura
vârfului
Apeiroedru
{p,q|l}
Față
{p}
Gol
{l}
Fagure Figura
vârfului
    
[3,5,3]
{10,4|3}         
2t{3,5,3}
  {4,10|3}         
t0,3{3,5,3}
 
   
[5,3,5]
{6,4|5}        
2t{5,3,5}
  {4,6|5}        
t0,3{5,3,5}
 
    
[(4,3,3,3)]
{8,6|3}         
ct{(4,3,3,3)}
  {6,8|3}         
ct{(3,3,4,3)}
 
    
[(5,3,3,3)]
{10,6|3}         
ct{(5,3,3,3)}
  {6,10|3}         
ct{(3,3,5,3)}
 
     
[(4,3,4,3)]
{8,8|3}          
ct{(4,3,4,3)}
  {6,6|4}          
ct{(3,4,3,4)}
 
     
[(5,3,4,3)]
{8,10|3}          
ct{(4,3,5,3)}
  {10,8|3}          
ct{(5,3,4,3)}
 
     
[(5,3,5,3)]
{10,10|3}          
ct{(5,3,5,3)}
  {6,6|5}          
ct{(3,5,3,5)}
 
17 apeiroedre regulate paracompacte
Grup
Coxeter
Apeiroedru
{p,q|l}
Față
{p}
Gol
{l}
Fagure Figura
vârfului
Apeiroedru
{p,q|l}
Față
{p}
Gol
{l}
Fagure Figura
vârfului
    
[4,4,4]
{8,4|4}         
2t{4,4,4}
  {4,8|4}         
t0,3{4,4,4}
 
    
[3,6,3]
{12,4|3}         
2t{3,6,3}
  {4,12|3}         
t0,3{3,6,3}
 
   
[6,3,6]
{6,4|6}        
2t{6,3,6}
  {4,6|6}        
t0,3{6,3,6}
 
    
[(4,4,4,3)]
{8,6|4}         
ct{(4,4,3,4)}
  {6,8|4}         
ct{(3,4,4,4)}
 
     
[(4,4,4,4)]
{8,8|4}          
q{4,4,4}
 
     
[(6,3,3,3)]
{12,6|3}         
ct{(6,3,3,3)}
  {6,12|3}         
ct{(3,3,6,3)}
 
     
[(6,3,4,3)]
{12,8|3}          
ct{(6,3,4,3)}
  {8,12|3}          
ct{(4,3,6,3)}
 
     
[(6,3,5,3)]
{12,10|3}          
ct{(6,3,5,3)}
  {10,12|3}          
ct{(5,3,6,3)}
 
     
[(6,3,6,3)]
{12,12|3}          
ct{(6,3,6,3)}
  {6,6|6}          
ct{(3,6,3,6)}
 
  1. ^ Coxeter, Regular Skew...
  2. ^ Conway, The Symmetry..., Cap. 23 Objects with Primary Symmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  3. ^ Coxeter, Regular... II 2.34)
  4. ^ en Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Can. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Arhivat în , la Wayback Machine. Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

Bibliografie

modificare
  • en Petrie–Coxeter Maps Revisited PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
  • en John Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5,
  • en Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra, Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355–387
  • en Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [2]
    • en (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
    • en (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • en (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • en Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
    • en Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.