Axonometrie

Axonometria este un procedeu grafic aparținând geometriei descriptive care generează o imagine plană a unui obiect tridimensional. Termenul „axonometrie” înseamnă „a măsura de-a lungul axelor” și indică faptul că dimensiunile și scalarea axelor de coordonate joacă un rol esențial. Rezultatul unei proceduri axonometrice este o proiecție paralelă a obiectului pe planul axonometric, cu o scară uniformă. În general, proiecția paralelă rezultată este oblică (liniile de proiecție nu sunt perpendiculare pe planul imaginii); dar în cazuri speciale rezultatul este o proiecție ortogonală (razele sunt perpendiculare pe planul imaginii), care în acest context se numește axonometrie ortogonală, axonometrie care în literatura în limba engleză se referă la proiecția axonometrică.

În desenul tehnic și în arhitectură perspectiva axonometrică este o formă de reprezentare bidimensională a obiectelor tridimensionale al căror scop este să păstreze impresia de volum sau de relief. Uneori, numită și perspectivă rapidă sau perspectivă artificială, diferă de perspectiva centrală și nu reprezintă ceea ce vede de fapt ochiul: liniile paralele rămân paralele, iar obiectele îndepărtate nu sunt reduse ca dimensiune. Poate fi considerată o perspectivă centrală al cărei centru de proiecție a fost împins la infinit, adică foarte departe de obiectul observat.

Principiu

Triunghiul intersecției dintre planul axonometric și planele axelor de coordonate

Se pornește de la un plan oarecare, planul axonometric (P), care întretaie axele de coordonate în trei puncte, care formează triunghiul axonometric. Fie ${\overline {0o}}\,$ segmentul normal pe planul axonometric (P). Se notează unghiurile: $\alpha _{o}={\widehat {oaO}},\,$ $\beta _{o}={\widehat {obO}}\,$ și respectiv $\gamma _{o}={\widehat {ocO}}\,$ . Proiecțiile ortogonale ale segmentelor ${\overline {Oa}},\,$ ${\overline {Ob}}\,$ și respectiv ${\overline {Oc}}\,$ pe planul axonometric sunt segmentele ${\overline {oa}},\,$ ${\overline {ob}}\,$ și respectiv ${\overline {oc}}\,$ . Direcțiile acestor segmente sunt direcțiile axelor axonometrice din proiecție, iar dimensiunile lor sunt ${\overline {oa}}={\overline {Oa}}\cos {\alpha _{o}},\,$ ${\overline {ob}}={\overline {Ob}}\cos {\beta _{o}}\,$ și respectiv ${\overline {oc}}={\overline {Oc}}\cos {\gamma _{o}}\,$ .^[1]

Rapoartele $\cos {\alpha _{o}}={\frac {\overline {oa}}{\overline {Oa}}},$ $\cos {\beta _{o}}={\frac {\overline {ob}}{\overline {Ob}}}$ și respectiv $\cos {\gamma _{o}}={\frac {\overline {oc}}{\overline {Oc}}}$ servesc la scalarea proiecțiilor.^[1] Ele nu sunt independente între ele, între ele există relația matematică:^[2]

\cos ^{2}{\alpha _{o}}+cos^{2}{\beta _{o}}+cos^{2}{\gamma _{o}}=2\,

.

Deci, alegând două dintre unghiurile $\alpha _{o},\beta _{o},\gamma _{o},\,$ al treilea rezultă.

În practică nu este obligatorie scalarea exact cu valoarea acestor cosinusuri, ele se pot înmulți cu un factor convenabil, k, același pentru toate trei, rezultând coeficienții de reducere:^[1]

v_{x}=k\cos {\alpha _{o}},

v_{y}=k\cos {\beta _{o}}

și respectiv

v_{z}=k\cos {\gamma _{o}}

.

Alegerea axelor și a coeficienților de reducere

Parametri și notații

Pentru a obține rezultate cât mai puțin distorsionate, direcțiile axelor și coeficieții de reducere trebuie alese cu atenție. Pentru a produce o proiecție ortogonală, doar direcțiile axelor de coordonate pot fi alese liber, coeficienții de reducere fiind în funcție de aceste direcții.^[3]

Notații:

$\alpha :\,$ unghiul dintre axele ${\overline {z}}\,$ și ${\overline {x}}\,$ ;
$\beta :\,$ unghiul dintre axele ${\overline {z}}\,$ și ${\overline {y}}\,$ ;
$\gamma :\,$ unghiul dintre axele ${\overline {x}}\,$ și ${\overline {y}}\,$ .

Unghiurile trebuie alese astfel încât $0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\$ .
Coeficienții de reducere: $0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\$ .

Următoarele imagini prezintă imaginile unui cub unitate pentru diferite unghiuri și reduceri și oferă câteva indicii despre cum trebuie făcute alegerile.

Diverse imagini axonometrice ale unui cub unitate. (Planul imaginii este paralel cu planul y-z.)
Imaginile din capetele din stânga și dreapta arată mai degrabă ca niște cuboizi alungiți în loc de cuburi.

Axe folosite în desenul tehnic

În desenul tehnic trei alegeri ale axelor sunt mai răspândite, proiecțiile respective fiind cunoscute sub denumirile de izometrică, dimetrică și trimetrică.^[2]^[4]^[5] Tipic în aceste reprezentări este că una dintre axe este cea verticală și coeficienții de reducere sunt simpli.^[6]^[7]

În proiecția izometrică, cea mai frecventă formă de proiecție axonometrică în desenul tehnic,^[8] direcția de vizionare este aleasă astfel încât cele trei axe ale spațiului apar scalate în mod egal (adică au același coeficient de reducere, 0,82, uzual rotunjit la 1) iar în planul de proiecție axele au același unghi între ele, de 120°.^[2]

În proiecția dimetrică, direcția de vizionare este aleasă astfel încât două din cele trei axe ale spațiului au același coeficient de reducere, iar unghiurile dintre axele aferente sunt determinate în funcție de unghiul de vizionare; scala celei de-a treia direcții este determinată separat. În proiecția standard coeficienții de reducere sunt 0,94 pentru două dintre axe și 0,47 pentru a treia, uzual rotunjiți la 1, respectiv 0,5. În acest caz în planul de proiecție două unghiuri dintre axele de proiecție au valoarea de 131°25', iar al treilea de 97°10'. Uzual aceste unghiuri de rotunjesc la 131,5°, respectiv 97°.^[2]^[5]

În proiecția trimetrică, direcția de vizionare este aleasă astfel încât fiecare din cele trei axe ale spațiului au coeficienți de scurtare diferiți. Scara de-a lungul fiecăreia dintre cele trei axe și unghiurile dintre ele sunt determinate separat, după cum este dictat de unghiul de vizualizare. Uzual coeficienții de reducere ai axelor x, y și z sunt 0,86, 0,65 și 0,92, iar unghiurile dintre axe sunt $\alpha =135^{\circ }$ , $\beta =105^{\circ }$ și $\gamma =120^{\circ }$ .^[2]^[5]

Axonometrii particulare

Proiecții și perspective utilizate frecvent cu unghiuri între axele de coordonate (α, β, γ),
unghiurile de vedere (α_h, β_h, fără γ_h = 90°) și coeficienții de reducere (*v_i*)
Parametru	α = ∠x̄z̄	β = ∠ȳz̄	γ = ∠x̄ȳ	α_h	β_h	v_x	v_y	v_z	v
Ortogonală, plană	90°	0°	270°	0°	270°	v		0%	orice
Trimetrică	90° + α_h	90° + β_h	360° − α − β	orice	orice	orice	orice	orice	orice
Dimetrică						orice	v
Izometrică						v
Normală						v			100%
Oblică, clinografică				< 90°	< 90°	orice	orice	orice	tg(α_h)
Simetrică		α	360° − 2·α	< 90°	α_h				orice
Izogonală (echiunghiulară)	120°			30°					orice
Normal, 1∶1 isometric						v			100%
Standard, izometrică redusă									√⅔ ≈ 81%
Pixel, 1∶2 izometrică	116,6°		126,9°	arctg(v)					50%
Tehnică	131,4°	97,2°	131,4°	arccos(¾)	arcsin(⅛)	50%	v		100%
Cavalieră	90° + α_h	90°	270° − α	orice	0°	orice
Cabinet, cavalieră dimetrică	90° + α_h		270° − α	orice		< 100%
Standard, cavalieră izometrică	135°		135°	45°		v
Standard 1∶2 cabinet	135°		135°	45°		50%	v
30° cabinet	116.6°		153.4°	arctg(v_x)
60° cabinet	153.4°		116.6°	arcctg(v_x)
30° cavalieră	120°		150°	30°		orice
Aeriană, vederea păsării	135°		90°	45°		v		orice	100%
Militară	135°			45°		v			100%
Planimetrică	90° + α_h	180° − α_h		orice	90° − α_h				orice
Planimetrică normală									100%
Planimetrică redusă									⅔ ≈ 67%

Perspectivele cavalieră și cabinet

Perspectivă cavalieră a unei case pe hârtie caroiată („de matematică”)

imaginea din față paralelă cu planul y–z.

În literatura de specialitate termenii „perspectivă cavalieră” și „perspectivă cabinet” nu sunt definiți uniform. Definiția de mai sus este cea mai generală. Adesea, se aplică restricții suplimentare.^[9]^[10] De exemplu:

la perspectiva cavalieră se cere și

\alpha =135^{\circ }

(oblică) și

v_{x}=1

(izometrică).

la perspectiva cabinet se cere și

\alpha =135^{\circ }

(oblică) și

v_{x}=0,5

(dimetrică).

Vederea păsării, militară

imaginea din față paralelă cu planul y–z.

la perspectiva militară se cere și

v_{z}=1

(izometrică).

Astfel de axonometrii sunt adesea folosite pentru hărțile orașelor, pentru a menține planul (vederea orizontală) nedistorsionat.

Izometrică

Izometrie standard: cub, casă, paralelipiped dreptunghic și sferă

La o axonometrie izometrică toși coeficienții de reducere sunt egali. Unghiurile pot fi alese arbitrar, dar cazul obișnuit este $\alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }$ .

Avantaje:

Coordonatele rămân neschimbate.
Imaginea este scalată cu factorul de scară ${\sqrt {1,5}}=1,225$ . Imaginea dă o impresie bună, iar conturul unei sfere este un cerc.
Unele aplicații grafice pe calculator oferă un caroiaj convenabil (v. imaginea de alături).
Dacă se ia $v_{x}=v_{y}=v_{z}={\sqrt {2/3}}$ (în loc de 1), imaginea nu este scalată în proiecția ortogonală.

Diverse axonometrii ale unui turn: dimetrică tehnică:

v_{x}=0,5,v_{y,z}=1

,
dimetrică militară:

v_{x,y}=1,v_{z}=0,5

, cavalieră:

v_{x}=0,5,v_{y,z}=1

, izometrică:

v_{x,y,z}=1

Cercuri în perspectiva cavalieră

O sferă în axonometrie militară

Cercuri și sfere în axonometrie

Într-o axonometrie conturul imaginii unui cerc este în general o elipsă. Conturul unui cerc este tot un cerc doar într-o proiecție ortogonală pe un plan paralel cu planul cercului. Conturul unei sfere în proiecție ortogonală este întotdeauna un cerc. În majoritatea cazurilor proiecțiile din desenele tehnice și izometria standard sunt proiecții ortogonale, deci în aceste cazuri proiecția unei sfere este un cerc.^[11] Oricum, o elipsă drept contur al unei sfere ar putea crea confuzii. Ca urmare, dacă o sferă face parte dintr-un obiect care trebuie reprezentat, ar trebui să se aleagă o proiecție ortogonală.

Note

^ ^a ^b ^c Moncea ș.a., Geometrie…, p. 50
^ ^a ^b ^c ^d ^e Moncea ș.a., Geometrie…, p. 51
^ Graf 1961, p. 145.
^ en Maynard, Patric (2005). Drawing distinctions: the varieties of graphic expression. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
^ ^a ^b ^c en McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Advanced graphics programming using openGL. Elsevier. p. 502. ISBN 1-55860-659-9.
^ Graf 1961, p. 155.
^ Stärk 1978, p. 168.
^ en Godse, A. P. (1984). Computer graphics. Technical Publications. p. 29. ISBN 81-8431-558-9. ^{[nefuncțională]}
^ Graf 1961, p. 95.
^ Stärk 1978, p. 159.
^ Moncea ș.a., Geometrie…, p. 53

Bibliografie

de Graf, Ulrich; Barner, Martin (1961). Darstellende Geometrie. Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
J. Moncea, Al. Săucan, T. Tacorian, Al. Tomuța, Geometrie descriptivă și desen tehnic: Partea a II-a Desen industrial, Ed. a II-a, București: Ed. Didactică și Pedagogică, 1970

Lectură suplimentară

de Stärk, Roland (1978). Darstellende Geometrie. Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.
de Fucke, Kirch Nickel (1998). Darstellende Geometrie. Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
de Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Stuttgart: Kohlhammer Verlag. ISBN 3-17-018489-X.
en Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Engineering Graphics: Theoretical Foundations of Engineering Geometry for Design. Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de Axonometrie la Wikimedia Commons
en Orthogonal axonometry

[G50-1] Moncea ș.a., Geometrie…, p. 50

[G51-2] Moncea ș.a., Geometrie…, p. 51

[FOOTNOTEGraf1961145-3] Graf 1961, p. 145.

[maynard-4] Maynard, Patric (2005). Drawing distinctions: the varieties of graphic expression. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.

[mcreynolds-5] McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Advanced graphics programming using openGL. Elsevier. p. 502. ISBN 1-55860-659-9.

[FOOTNOTEGraf1961155-6] Graf 1961, p. 155.

[FOOTNOTEStärk1978168-7] Stärk 1978, p. 168.

[godse-8] Godse, A. P. (1984). Computer graphics. Technical Publications. p. 29. ISBN 81-8431-558-9. ^{[nefuncțională]}

[FOOTNOTEGraf196195-9] Graf 1961, p. 95.

[FOOTNOTEStärk1978159-10] Stärk 1978, p. 159.

[11] Moncea ș.a., Geometrie…, p. 53

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]