Centrul cercului înscris unui triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris unui triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Centru cercului înscris într-un triunghi

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Vectorul de pozițieModificare

Vectorul de poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

 

unde     sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează     picioarele bisectoarelor din vârfurile     Conform teoremei bisectoarei:

 

Rezultă că punctul     împarte segmentul     în raportul     deci:

  adică    

Din     rezultă     Dar     deci    

    este bisectoare în triunghiul     deci aplicând teorema bisectoarei:

 

Rezultă că punctul I împarte segmentul     în raportul     deci

   

Cum     rezultă că     împarte segmentul     în raportul     deci:

 

adică:

   

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele cartezieneModificare

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

 

unde   ,    și     sunt coordonatele vârfului triunghiului.