Bisectoare
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.
Proprietăți
modificare- Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate obținută pe baza definiției bisectoarei;
Concurența bisectoarelor unui triunghi
modificare- În orice triunghi bisectoarele sunt concurente (conform reciprocei teoremei lui Ceva) în centrul cercului înscris triunghiului.
Alte proprietăți
modificare- În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;
- În orice romb, diagonalele sunt și bisectoare.
Lungimea bisectoarelor unui triunghi
modificareLungimea a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c și cosinusul măsurii A/2 a acestui semiunghi e:[1]
Egalitatea se poate obține dintr-o egalitate de arii a triunghiului ABC cu cele ale triunghiurilor determinate de bisectoarea unghiului A pe latura opusă.[2]
Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci[3]
unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.
Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei sau se obține o egalitate de produse de lungimi sau , care se substituie în expresia teoremei lui Stewart
Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:
Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.
După substituire
Egalizarea cu partea stângă dă:
Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.
Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile and , atunci[4]
Ecuații în geometria analitică
modificareÎn plan
modificareÎn geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:
Ecuațiile celor două bisectoare sunt:
În spațiu
modificareSe consideră dreptele de ecuații:
Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:
unde:
În geometria triunghiului
modificareSe consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:
unde semnele și se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.
Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.
Note
modificare- ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
- ^ Nicolae N. Mihăileanu, Lecții complementare de geometrie, (1976), p.10
- ^ Johnson, p.70
- ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.