Bisectoare

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

Proprietăți

• Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate pe baza definiției bisectoarei;

Concurența bisectoarelor unui triunghi

• În orice triunghi bisectoarele sunt concurente (conform reciprocei teoremei lui Ceva) în centrul cercului înscris triunghiului.

Alte proprietăți

• În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;

• Într-un romb, diagonalele sunt și bisectoare.

Lungimi ale bisectoarelor

Lungimea unei bisectoare în funcție de laturile unghiului bisectat b, c și măsura A/2 a acestui semiunghi e:

${\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.$

Daca bisectoarea internă a unghiului A în triunghiul ABC are lungimea $t_{a}$ și divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci

$t_{a}^{2}+mn=bc$

unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura opusă lui A e împărțită în raportul b:c.

Ecuații în geometria analitică

În plan

Cu ajutorul geometriei analitice, se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de dreptele de ecuații carteziene:

$(D_{1})\;\;A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$

$(D_{2})\;\;A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.$

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},$

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.$

În spațiu

Se consideră dreptele de ecuații:

${\frac {x-a}{l_{1}}}={\frac {y-b}{m_{1}}}={\frac {z-c}{n_{1}}},$

${\frac {x-a}{l_{2}}}={\frac {y-b}{m_{2}}}={\frac {z-c}{n_{2}}}.$

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

$x=a+\left({\frac {l_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {l_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,$

$y=b+\left({\frac {m_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {m_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,$

$z=c+\left({\frac {n_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {n_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,$

unde:

$D_{1}={\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}},$

$D_{2}={\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}.$

În geometria triunghiului

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$ și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

${\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{3}&y_{3}&1\\x_{1}&y_{1}&1\end{vmatrix}}{b}}\pm {\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}{c}}=0,$

unde semnele $+$ și $-$ se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A. Ecuații analoage se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.

Vezi și

• Mediană
• Înălțime (geometrie)
• Mediatoare
• Linie mijlocie

Legături externe

• Concurența bisectoarelor