Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

Proprietăți modificare

  • Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate pe baza definiției bisectoarei;

Concurența bisectoarelor unui triunghi modificare

Alte proprietăți modificare

Lungimea bisectoarelor unui triunghi modificare

 
În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

Lungimea   a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c și cosinusul măsurii A/2 a acestui semiunghi e:[1]

 

Egalitatea se poate obține dintr-o egalitate de arii a triunghiului ABC cu cele ale triunghiurilor determinate de bisectoarea unghiului A pe latura opusă.[2]

Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea   divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci[3]

 

unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.

Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei   sau   se obține o egalitate de produse de lungimi   sau  , care se substituie în expresia teoremei lui Stewart  

Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:

 

Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.

 

După substituire  

Egalizarea cu partea stângă dă:

 

Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.

Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile   and  , atunci[4]

 

Ecuații în geometria analitică modificare

În plan modificare

În geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:

 
 

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

 
 

În spațiu modificare

Se consideră dreptele de ecuații:

 
 

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

 
 
 

unde:

 
 

În geometria triunghiului modificare

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor:   și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

 

unde semnele   și   se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.

Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.

Note modificare

  1. ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  2. ^ Nicolae N. Mihăileanu, Lecții complementare de geometrie, (1976), p.10
  3. ^ Johnson, p.70
  4. ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.

Vezi și modificare

Legături externe modificare