Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

ProprietățiModificare

  • Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate pe baza definiției bisectoarei;

Concurența bisectoarelor unui triunghiModificare

Alte proprietățiModificare

  • În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;
  • Într-un romb, diagonalele sunt și bisectoare.

Lungimi ale bisectoarelorModificare

Lungimea unei bisectoare în funcție de laturile unghiului bisectat b, c și măsura A/2 a acestui semiunghi e:[1]

 

Daca bisectoarea internă a unghiului A în triunghiul ABC are lungimea   și divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci[2]

 

unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura opusă lui A e împărțită în raportul b:c.

Ecuații în geometria analiticăModificare

În planModificare

Cu ajutorul geometriei analitice, se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de dreptele de ecuații carteziene:

 
 

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

 
 

În spațiuModificare

Se consideră dreptele de ecuații:

 
 

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

 
 
 

unde:

 
 

În geometria triunghiuluiModificare

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor:   și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

 

unde semnele   și   se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A. Ecuații analoage se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.

Vezi șiModificare

NoteModificare

  1. ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  2. ^ Johnson, p.70

Legături externeModificare