Deschide meniul principal
Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana unui triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia.

ProprietățiModificare

Concurența medianelor într-un triunghiModificare

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct G numit centrul de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana. [1]

Împărțirea egală a ariilorModificare

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). [2] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directăModificare

În figura alăturată se observă că   este linia mijlocie a triunghiului : , opusă laturii  . Prin urmare, este paralelă cu   și are lungimea egală cu  .

Deoarece BC || DF rezultă că unghiurile:

 

și

 

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile   și   sunt asemenea. Rezultă că

 = = = 

Demonstrație prin Teorema lui CevaModificare

Deoarece:

  =   =   = 1, rezultă că și :  .   .  =1. Deci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente.

Lungimea medianeiModificare

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei este egală cu:

 ,

unde a este latura pe care cade mediana.

Alte proprietățiModificare

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
  • Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea  
  • Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă  [3]
  • Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația: [4]
 
  • Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor precum si permimetrul ma, mb și mc, după cum urmează. Notând semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 cu σ, obținem:[5]
 

ReferințeModificare

  1. ^ Weisstein, Eric W. (). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223. 
  2. ^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle”. Accesat în . 
  3. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  4. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
  5. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi șiModificare