Cercul celor nouă puncte

În geometrie, cercul celor nouă puncte pentru un anumit triunghi este cercul care unește următoarele puncte importante ale triunghiului:

  • mijloacele laturilor acestuia;
  • picioarele înălțimilor;
  • mijloacele segmentelor formate din ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia.
Cercul celor nouă puncte

Acest cerc se mai numește și cercul lui Feuerbach, cercul lui Euler, al lui Terquem

Descoperire

modificare

Proprietăți

modificare
 
 

Raza cercului celor nouă puncte este de două ori mai mică decât raza cercului circumscris triunghiului.

Dacă   sunt respectiv mijloacele   atunci   este transformarea   printr-o omotetie de pol   și raport  . Ca atare, cum cercul celor nouă puncte este cercul circumscris al  , între raza lui,   și raza cercului circumscris   există același raport. Deci  

Cercul celor nouă puncte intersectează orice dreaptă care trece prin ortocentru în mijloacele celor două segmente formate de ortocentru și respectiv punctele de intersecție ale dreptei cu cercul circumscris.

Aceasta este o consecință a relației de omotetie dintre cele două cercuri. Pentru orice punct   de pe Cercul celor nouă puncte, corespondentul lui pe cercul circumscris triunghiului ABC,   este punctul  
Centrul cercului celor 9 puncte, ortocentrul triunghiului, centrul său de greutate și centrul cercului circumscris sunt coliniare.[1] deci
 
  1. ^ Dekov, Deko (), „Nine-point center” (PDF), Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry [nefuncțională]

Legături externe

modificare