Condiția lanțului ascendent

condiție în algebra comutativă

În matematică condiția lanțului ascendent (în engleză ascending chain condition – ACC)[1] și condiția lanțului descendent (în engleză descending chain condition – DCC)[2] sunt proprietăți privind caracterul finit ale unor structuri algebrice, cea mai mare importanță având-o pentru idealele din anumite inele comutative.[3][4][5] Aceste condiții au jucat un rol important în dezvoltarea teoriei structurii inelelor comutative în lucrările lui David Hilbert, Emmy Noether și Emil Artin.

Condițiile în sine pot fi enunțate într-o formă abstractă, astfel încât să fie valabile pentru orice mulțime parțial ordonată⁠(d). Acest punct de vedere este util în teoria dimensiunilor algebrice abstracte datorită lui Gabriel și Rentschler.

Definiție

modificare

Se spune că o mulțime parțial ordonată P satisface condiția lanțului ascendent (ACC) dacă nu există un șir infinit strict ascendent de elemente din P:[6]

 

Echivalent, orce șir slab ascendent

 

de elemente din P se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar[1], ceea ce înseamnă că există un număr întreg pozitiv n astfel încât

 

Similar, se spune că P satisface condiția lanțului descendent (DCC) dacă nu există un șir infinit descendent de elemente din P.[6] Echivalent, orice șir slab descendent de elemente din P

 

se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar.[2]

Comentarii

modificare
  • Admițând axioma alegerii dependente⁠(d), condiția lanțului descendent pe mulțimea parțial ordonată (posibil infinită) P este echivalentă cu faptul că P este bine fondată⁠(d): orice submulțime nevidă din P are un element minim (numit și condiția minimală). O mulțime total ordonată care este bine fondată este o mulțime bine ordonată.
  • Similar, condiția lanțului ascendent este echivalentă pentru o P invers bine fondată (din nou, admițând alegerea dependentă): orice submulțime nevidă din P are un element maxim (numit și condiția maximală).
  • Orice mulțime finită parțial ordonată satisface atât condiția lanțului ascendent cât și cea a lanțului descendent. Prin urmare, este atât bine formată, cât și invers bine formată.

Fie   inelul numerelor întregi. Orice ideal al lui   constă din toți multiplii unui număr  . De exemplu, idealul

 

este format din toți multiplii lui  . Fie

 

idealul format din toți multiplii lui  . Idealul   este conținut în idealul  , deoarece orice multiplu al lui   este și un multiplu al lui  . La rândul său, idealul   este conținut în idealul  , deoarece fiecare multiplu al lui   este un multiplu al lui  . Totuși, în acest moment nu există un ideal mai mare în  .

În general, dacă   sunt ideale ale   astfel încât   să fie conținut în  ,   este conținut în   și așa mai departe, atunci există unele   pentru care toate  . Adică, după un moment dat, toate idealele sunt egale între ele. Prin urmare, idealele lui   satisfac condiția lanțului ascendent, unde idealele sunt ordonate prin includerea mulțimii. Prin urmare,   este un inel Noetherian⁠(d).

  1. ^ a b Cipu, p. 1
  2. ^ a b Cipu, p. 2
  3. ^ Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko, 2004, p. 6, Prop. 1.1.4
  4. ^ raleigh, Katz, 1967, p. 366, Lema 7.1
  5. ^ Jacobson, 2009, pp. 142, 147
  6. ^ a b Hazewinkel, p=580

Bibliografie

modificare
  • Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02
  • en Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (), Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9 
  • en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (), Algebras, rings and modules, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0 
  • en Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer. ISBN 1-55608-010-7. 
  • en Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (), A first course in abstract algebra (ed. 5th), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3 
  • en Jacobson, Nathan (), Basic Algebra I, Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 

Legături externe

modificare