Curbă Bézier

În matematică, și anume în analiza numerică, o curbă Bézier este o curbă parametrică cu importante aplicații în grafica pe calculator și în domeniile asociate acesteia. Generalizările curbelor Bézier la dimensiuni superioare se numesc suprafețe Bézier, triunghiul Bézier fiind un caz particular al acestora.

Curbă Bézier cubică

Curbele Bézier au fost mediatizate în 1962 de inginerul francez Pierre Bézier, care le-a utilizat pentru a proiecta șasiuri de automobile. Curbele Bézier au fost dezvoltate în 1959 de Paul de Casteljau cu ajutorul algoritmului lui de Casteljau, o metodă numeric stabilă de evaluare a curbelor Bézier.

În grafica vectorială, curbele Bézier sunt o unealtă importantă folosită pentru modelarea curbelor derivabile și scalabile. Căile (în engleză Paths) așa cum sunt ele denumite adesea în programele de grafică vectorială sau de editare de imagini, cum ar fi Inkscape, Adobe Illustrator, Adobe Photoshop, sau GIMP sunt combinații de curbe Bézier interconectate. Căile nu au limitările imaginilor raster, iar modificarea lor este intuitivă. Curbele Bézier se folosesc și în animație pentru controlul mișcării în aplicații ca Adobe Flash, Adobe After Effects, Microsoft Expression Blend și Autodesk 3ds max.

Aplicații

Grafica pe calculator

Curbele Bézier sunt folosite în modelarea curbelor continue și derivabile în grafica pe calculator. Întrucât curba are proprietatea de înfășurătoare convexă (este conținută în poligonul convex definit de punctele sale de control), punctele pot fi afișate grafic și utilizate pentru manevrarea intuitivă a curbei. Transformările afine, cum ar fi translația, scalarea și rotația se pot aplica respectivei curbe prin aplicarea transformării similare asupra punctelor ei de control.

Cele mai des întâlnite curbe Bézier sunt cele cuadratice și cele cubice; evaluarea curbelor de grad superior este prea costisitoare în termeni de putere de calcul. Când sunt necesare forme mai complexe, se folosesc curbe Bézier concatenate, și nu curbe de grad superior. Unele programe de grafică, cum ar fi de exemplu Adobe Illustrator sau Inkscape, numesc aceste curbe concatenate căi. Aceste policurbe Bézier sunt reprezentate și în formatul de fișier SVG. Pentru a garanta derivabilitatea, punctul de control în care se întâlnesc cele două curbe și două puncte de control de fiecare parte a acestuia trebuie să fie coliniare.

Cea mai simplă metodă de redare (rasterizare) a unei curbe Bézier este evaluarea ei în multe puncte foarte apropiate și de a reda succesiunea corespunzătoare de segmente de dreaptă. Totuși, aceasta nu garantează că curba redată arată suficient de neted, deoarece punctele intermediare pot fi plasate prea departe unele de altele. În același timp, este posibil și să se genereze prea multe puncte acolo unde curba este aproape dreaptă. O metodă comună pentru adaptarea punctelor intermediare este subdivizarea recursivă, prin care se verifică punctele de control ale curbei pentru a afla dacă ea aproximează un segment de dreaptă cu o toleranță mică. Dacă nu aproximează un segment de dreaptă, curba este subîmpărțită parametric în două segmente, 0 ≤ t ≤ 0,5 și 0,5 ≤ t ≤ 1, și se aplică aceeași procedură recursiv pe fiecare jumătate.

Animație

În software-ul de animații, cum ar fi cazul Adobe Flash sau Adobe Shockwave, sau în aplicații ca Game Maker, curbele Bézier sunt folosite și pentru a trasa mișcarea. Utilizatorii subliniază calea dorită prin curbe Bézier, și aplicația creează cadrele necesare redării mișcării obiectului de-a lungul acelei căi.

Construcția și definiția unor curbe Bézier

Curbele liniare

Animaţia trasării unei curbe Bézier liniare, cu t în intervalul [0,1]

Curbele liniare sunt cazul cel mai simplu de curbă Bézier. Date fiind punctele P₀ și P₁, o curbă Bézier liniară este o linie dreaptă ce leagă cele două puncte. Expresia curbei este dată de

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+t(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$

și este similară cu interpolarea liniară.

Parametrul t din expresia unei curbe Bézier liniare poate fi considerat a fi cât de departe este B(t) de P₀ și P₁. De exemplu, când t=0,25, B(t) a parcurs un sfert din distanța de la punctul P₀ la P₁. Pe măsură ce t variază de la 0 la 1, B(t) descrie o linie între P₀ și P₁.

Curbele Bézier cuadratice

Animaţia trasării unei curbe Bézier cuadratice, cu t în [0,1]

O curbă Bézier cuadratică este calea parcursă de funcția B(t), dacă sunt date punctele P₀, P₁, și P₂,

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2(1-t)t\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

O curbă Bézier cuadratică este un segment de parabolă.

Pentru curbele Bézier cuadratice, se pot construi puncte intermediare Q₀ și Q₁ astfel încât t variază de la 0 la 1:

• Punctul Q₀ variază de la P₀ la P₁ și descrie o curbă Bézier liniară.
• Punctul Q₁ variază de la P₁ la P₂ și descrie o curbă Bézier liniară.
• Punctul B(t) variază de la Q₀ la Q₁ și descrie o curbă Bézier cuadratică.

Fonturile TrueType folosesc spline-uri Bézier formate din curbe Bézier cuadratice.

Curbe Bézier cubice

Animaţia construcţiei unei curbe Bézier cubice, cu t în [0,1]

Patru puncte de control P₀, P₁, P₂ și P₃ din plan sau din spațiul tridimensional definesc o curbă Bézier cubică. Curba începe la P₀, merge înspre P₁ și ajunge la P₃ din direcția lui P₂. De regulă, ea nu trece nici prin P₁ și nici prin P₂; aceste puncte există doar pentru a furniza informația legată de direcție. Distanța dintre P₀ și P₁ determină „cât de mult timp” se mișcă curba în direcția lui P₂ înainte de a se îndrepta spre P₃.

Forma parametrică a curbei este:

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3(1-t)^{2}t\mathbf {P} _{1}+3(1-t)t^{2}\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

Pentru curbele de grad superior, sunt necesare mai multe puncte de control. Pentru curbele cubice, se construiesc punctele Q₀, Q₁ și Q₂ care descriu curbe Bézier liniare, și apoi punctele R₀ și R₁ care descriu curbe Bézier cuadratice.

Sistemele moderne de generale a imaginilor, cum sunt PostScript, Asymptote și Metafont folosesc spline-uri Bézier formate din curbe Bézier pentru desenarea formelor curbe.

Definiție generală

În general, o curbă Bézier de gradul $n$ se poate defini astfel: Date fiind punctele de control P₀, P₁,..., P_n, curba Bézier are expresia:

$\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}\mathbf {P} _{i}=(1-t)^{n}\mathbf {P} _{0}+{n \choose 1}(1-t)^{n-1}t\mathbf {P} _{1}+\cdots +t^{n}\mathbf {P} _{n}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

De exemplu, pentru $n=5$:

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{5}\mathbf {P} _{0}+5t(1-t)^{4}\mathbf {P} _{1}+10t^{2}(1-t)^{3}\mathbf {P} _{2}+10t^{3}(1-t)^{2}\mathbf {P} _{3}+5t^{4}(1-t)\mathbf {P} _{4}+t^{5}\mathbf {P} _{5}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

Această formulă se poate exprima recursiv astfel: Fie $\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}$ curba Bézier determinată de punctele P₀, P₁,..., P_n. Atunci,

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n-1}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{2}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)$

Cu alte cuvinte, curba Bézier de gradul $n$ este o interpolare liniară între două curbe Bézier de gradul $n-1$.

Expresia unei curbe Bézier se poate scrie în funcție de polinoamele Bernstein de bază, astfel:

$\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {b} _{i,n}(t)\mathbf {P} _{i},\quad t\in [0,1]$

unde

$\mathbf {b} _{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n$

sunt polinoamele Bernstein de gradul n, în care t⁰ = 1 și (1 - t)⁰ = 1.

Forma polinomială

Uneori, este de dorit să se exprime o curbă Bézier sub formă de polinom și nu de sumă de polinoame Bernstein. Aplicarea teoremei binomiale la definiția curbei, urmată de o rearanjare a termenilor, dă rezultatul:

$\mathbf {B} (t)=\sum _{j=0}^{n}{t^{j}\mathbf {C} _{j}}$

unde

$\mathbf {C} _{j}={\frac {n!}{(n-j)!}}\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}=\prod _{m=0}^{j-1}(n-m)\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}.$

Această formulare este practică dacă $\mathbf {C} _{j}$ poate fi calculat anterior evaluărilor lui $\mathbf {B} (t)$.

Bibliografie

• Paul Bourke: Bézier Surfaces (in 3D), http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/ Arhivat în 8 iulie 2006, la Wayback Machine.
• Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123–131.Discuție excelentă a detaliilor de implementare; distribuită gratuit împreună cu TeX.
• Dr Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf Arhivat în 21 februarie 2006, la Wayback Machine.
• J.D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice in C (ediția a doua, Addison Wesley, 1992)