Derivată direcțională

În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.

Definiție modificare

Cazul 2D modificare

Definiție. Fie   o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar   Dacă următoarea limită există și este finită:

 

atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității   în punctul   și se notează cu  

 

Alte notații echivalente utilizate sunt   sau  

Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu   obținem derivata parțială după direcția axei  

 

Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru   în jurul lui   și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:

 

sau, utilizând notația:  

 

Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:

 

Relația dintre derivata după direcția   și vectorul gradient este:

 

Exemplu modificare

Se consideră câmpul vectorial:   și se cere determinarea lui   în direcția   în punctul  

Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:

 

Derivata după o direcție este:

 

iar în punctul