Definiție .
Fie
f
:
D
⊂
R
2
→
R
{\displaystyle f:D\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
reală , diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar
u
=
a
i
+
b
j
.
{\displaystyle \mathbf {u} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j} .}
limită există și este finită:
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
a
,
y
+
t
b
)
t
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}}
atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
(
x
,
y
)
∈
D
{\displaystyle (x,y)\in D}
D
u
f
:
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f:}
D
u
f
(
x
,
y
)
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
a
,
y
+
t
b
)
t
.
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }\;f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}.}
Alte notații echivalente utilizate sunt
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
d
f
d
u
.
{\displaystyle {\frac {df}{d\mathbf {u} }}.}
Observație :
Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată.
Astfel dacă de exemplu
u
=
i
{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {i} }
x
:
{\displaystyle x:}
D
i
f
(
x
,
y
)
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
,
y
)
−
f
(
x
,
y
)
t
=
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle D_{\mathbf {i} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t,y)-f(x,y)}{t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y).}
Observație :
Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru
f
(
x
+
t
a
,
y
+
t
b
)
{\displaystyle f(x+ta,y+tb)}
(
x
,
y
)
∈
D
{\displaystyle (x,y)\in D}
D
u
f
(
x
,
y
)
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
a
,
y
+
t
b
)
−
f
(
x
,
y
)
t
=
a
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
+
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}{t}}=a{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+b{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}
sau, utilizând notația:
f
,
x
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f_{,x}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).}
D
u
f
(
x
,
y
)
=
a
f
,
x
(
x
,
y
)
+
b
f
,
y
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle D_{u}f(x,y)=af_{,x}(x,y)+bf_{,y}(x,y).}
Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:
g
r
a
d
f
=
∇
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
.
{\displaystyle grad\;f=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} .}
Relația dintre derivata după direcția
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
vectorul gradient este:
D
u
f
(
x
,
y
)
=
∇
f
(
x
,
y
)
⋅
u
.
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} .}
Se consideră câmpul vectorial :
f
(
x
,
y
)
=
4
−
x
2
−
1
4
y
2
{\displaystyle f(x,y)=4-x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}}
D
u
f
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f}
u
=
cos
(
π
3
)
i
+
sin
(
π
3
)
j
{\displaystyle \mathbf {u} =\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {i} +\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {j} }
(
1
,
2
)
.
{\displaystyle (1,2).}
Rezolvare .
Derivatele parțiale sunt:
f
,
x
=
−
2
x
,
f
,
y
=
−
1
2
y
.
{\displaystyle f_{,x}=-2x,\;f_{,y}=-{\frac {1}{2}}y.}
Derivata după o direcție este:
D
u
f
(
x
,
y
)
=
f
x
(
x
,
y
)
cos
θ
+
f
y
(
x
,
y
)
sin
θ
=
(
−
2
x
)
cos
π
3
+
(
−
1
2
y
)
sin
π
3
,
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=f_{x}(x,y)\cos \theta +f_{y}(x,y)\sin \theta =(-2x)\cos {\frac {\pi }{3}}+\left(-{\frac {1}{2}}y\right)\sin {\frac {\pi }{3}},}
iar în punctul
(
1
,
2
)
:
{\displaystyle (1,2):}
D
u
f
(
1
,
2
)
=
(
−
2
)
cos
(
π
3
)
+
(
−
1
)
sin
(
π
3
)
=
(
−
2
)
(
1
2
)
+
(
−
1
)
(
3
2
)
=
−
1
−
3
2
.
{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(1,2)=(-2)\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)+(-1)\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)=(-2)\left({\frac {1}{2}}\right)+(-1)\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}
