Ecuațiile Kirchhoff

Nu confundați cu Legile lui Kirchhoff.

În mecanica fluidelor ecuațiile Kirchhoff, numite astfel după Gustav Kirchhoff, descriu mișcarea unui corp rigid într-un fluid ideal.

${\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}$

unde ${\vec {\omega }}$ și ${\vec {v}}$ sunt vectorii viteză unghiulară și liniară în punctul ${\vec {x}}$;

${\tilde {I}}$ este tensorul momentului de inerție;

$m$ este masa corpului;

${\hat {n}}$ este o unitate normală la suprafața corpului în punctul ${\vec {x}}$;

$p$ este o presiune în acest moment;

${\vec {Q}}_{h}$ și ${\vec {F}}_{h}$ sunt momentul și respectiv forța hidrodinamică care acționează asupra corpului;

${\vec {Q}}$ și ${\vec {F}}$ sunt toate celelalte momente, respectiv forțe care acționează asupra corpului.

Integrarea se realizează peste porțiunea suprafeței corpului expusă fluidului.

Dacă corpul este complet scufundat într-un volum infinit de mare de fluid irotațional, incompresibil, inviscid, care la infinit este în repaus, atunci vectorii ${\vec {Q}}_{h}$ și ${\vec {F}}_{h}$ pot fi obținuți prin integrare explicită, iar dinamica corpului este descrisă de ecuațiile Kirchhoff–Clebsch:

${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},$

$L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).$

Prin integrare se obține:

$J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).$

Prin integrare ulterioară se obțin expresii explicite pentru poziție și viteze.

Bibliografie

• de Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• en Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.