Extindere normală

extindere a unui corp algebric

În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.[1][2] Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o extinderi Galois⁠(d). Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.

Definiție

modificare

Fie   o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât   (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente:[3]

  • Orice încorporare a L în   induce un automorfism pe L.
  • L este corpul de descompunere⁠(d) al familiei de polinoame din  .
  • Orice polinom ireductibil din   care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți

modificare

Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:

  • Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E.[4]
  • Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri⁠(d) EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.[4]

Condiții echivalente pentru normalitate

modificare

Fie   algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

  • Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
  • Există o mulțime   a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât   sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
  • Toate omomorfismele   au aceeași imagine;
  • Grupul de automorfisme   al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme  

Exemple și contraexemple

modificare

De exemplu,   este o extindere normală pe   deoarece este corpul de descompunere al   Pe de altă arte,   nu este o extindere normală pe   deoarece polinomul ireductibil   are o rădăcină în el,  , dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul   al numerelor algebrice este închiderea algebrică a   adică ea conține   Deoarece   și, dacă   este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația   este o încorporare a   în   a cărei restricție la   este identitatea. Totuși,   nu este un automorfism al  

Pentru orice număr prim   extinderea   are in mod normal gradul   Este corpul de descompunere al   Aici   semnifică a  -a rădăcină primitivă a unității. Corpul   este închiderea normală a  

Închidere normală

modificare

Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.

Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.

  1. ^ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3, NOR 3.
  2. ^ Jacobson 1989, p. 489, Section 8.7.
  3. ^ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3.
  4. ^ a b Lang 2002, p. 238, Theorem 3.4.

Bibliografie

modificare
  • en Lang, Serge (), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
  • en Jacobson, Nathan (), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787