Deschide meniul principal
Raportul dintre (ln n!) şi (n ln n − n) se apropie de unitate când n creşte.

În analiza matematică, formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului:

unde este un număr stabilit de James Stirling.

Această formulă este echivalentă cu:

DemonstrațieModificare

Conform unei proprietăți a logaritmilor:

 

Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe  

 

pentru  

Se scrie această dublă inegalitate pentru   și se adună membru cu membru. Rezultă:

 

Se calculeaza cele doua integrale folosind formula de integrare prin parti, astfel:

 

Se aplica formula de mai sus pentru a = 0 si b = N, respectiv a = 1 si b = N + 1, obținandu-se:

 

Fie:

 

Se poate obține:

 

și apoi:

 

Utilizând dezvoltarea în serie Taylor, se obține:

 

Pentru   se poate scrie:

 

Aceasta implică:

 

Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice:

 

Deci șirul   este descrescător, iar șirul   este descrescător. Rezultă că   este convergent către o limită C cu proprietatea:

 

unde

 

Utilizând funcția exponențială, se obține:

 

Rămâne de demonstrat că    

Se utilizează formula lui Wallis:

 

care poate fi scrisă:

 

adică:

 

Utilizând formula de mai sus:

 

se obține:

 

Rezultă:

 

adică:

 

ceea ce trebuia demonstrat.