Inegalitatea Hölder

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor Lp.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe Lp(S) și g definită pe Lq(S). Atunci fg parcurge L1(S) și

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x1,...,xn, y1,...,yn.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul Lp, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că Lp este spațiul dual asociat lui Lq și aceasta dacă .

DemonstrațieModificare

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care   sunt pozitive și au suma 1:  , sau folosind funcția exponențială:   (1)

Să presupunem că   Luând   și   din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem:   (2)

Acum să presupunem că   și   sunt nenule (adică cel puțin unul dintre   și cel puțin unul dintre   sunt nenule). Punând   și   putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți   și  , de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți   și toți   sunt nuli.

GeneralizareModificare

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie   cu  , atunci:

Avem   și