Inegalitatea Hölder

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor L^p.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe L^p(S) și g definită pe L^q(S). Atunci fg parcurge L¹(S) și

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul L^p, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că L^p este spațiul dual asociat lui L^q și aceasta dacă $p\neq 1$.

Demonstrație

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care ${\frac {1}{p}},{\frac {1}{q}}$ sunt pozitive și au suma 1: ${\frac {1}{p}}\ln(a)+{\frac {1}{q}}\ln(b)\leq \ln({\frac {1}{p}}a+{\frac {1}{q}}b)$, sau folosind funcția exponențială: $a^{1/p}b^{1/q}\leq {\frac {1}{p}}a+{\frac {1}{q}}b.$ (1)

Să presupunem că $\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}=\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}=1.$ Luând $a=|x_{k}|^{p}$ și $b=|y_{k}|^{q}$ din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem: $\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq 1.$ (2)

Acum să presupunem că $\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}$ și $\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}$ sunt nenule (adică cel puțin unul dintre $x_{k}$ și cel puțin unul dintre $y_{k}$ sunt nenule). Punând $x'_{i}={\frac {x_{i}}{\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}}}$ și $y'_{i}={\frac {y_{i}}{\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}}$ putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți $x'_{i}$ și $y'_{i}$, de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți $x_{k}$ și toți $y_{k}$ sunt nuli.

Generalizare

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie ${f}_{k}\in {L}^{p_{k}}(S)$ cu $\sum _{k=1}^{n}1/p_{k}=1$, atunci:

Avem ${f}_{1}...{f}_{n}\in {L}^{1}(S)$ și $\|f_{1}...f_{n}\|_{1}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}...\|f_{n}\|_{p_{n}}.$