Interpolare polinomială

În analiză numerică,interpolarea polinomială este o tehnică de interpolare a unui set de date sau a unei funcții printr-un polinom. Cu alte cuvinte, dat un set de puncte (obținut, de exemplu, ca urmare a unui experiment), vom căuta un polinom care trece prin toate aceste puncte, și, eventual, verificați pentru alte condiții, dacă este posibil, gradul cel mai mic.

Definiție

modificare
  • Având un set de n +1 puncte, (xi,yi) (xi diferite între ele), găsim un polinom P (cu coeficienți reali) de grad cel mult n, care satisface:
 

Se demonstrează că există un singur polinom de grad cel mult n care trece prin cele n puncte.

Construcția polinomului de interpolare

modificare
 
Punctele roșii corespund punctelor (xk,yk), iar curba albastră reprezintă polinomului de interpolare.
 
Punctele roșii indică punctele de date (xk,yk), în timp ce curba albastră arată polinomul de interpolare.

Să presupunem că polinomul de interpolare este dat de:

 

unde p trebuie să verifice:

 

astfel încât să treacă prin setul de puncte de interpolat. Afirmația că p interpolează punctele de date înseamnă că

 

Dacă înlocuim ecuația (1), în aici, avem un sistem de ecuații liniare din coeficienții  .

Sistemul în forma matrice-vector este

 

Trebuie să rezolvăm acest sistem pentru   pentru a construi interpolant   Matricea   este o matrice Vandermonde.

Determinantul său este diferit de zero, ceea ce demonstrează că polinomul de interpolare există și este unic.

Rangul matricii Vandermonde poate fi mare [1], ceea ce cauzează erori mari la calculul coeficienților   în cazul în care sistemul de ecuații este rezolvat cu ajutorul metodei de eliminare Gauss.

Unicitatea polinomului de interpolare

modificare

Având în vedere matricea Vandermonde folosit de mai sus pentru a construi interpolant, putem scrie sistemul sub forma

 

Pentru a dovedi că V este matrice inversabilă, vom folosi formula determinantului Vandermonde:

 

Deoarece cele n + 1 puncte sunt distincte, determinantul nu poate fi zero, deoarece   nu este niciodată la zero, prin urmare V este nesingulară și sistemul are o soluție unică.

Eroarea de interpolare

modificare

Dacă   este de   ori derivabilă pe intervalul  , iar   este un polinom de grad cel mult n care interpolează f în n + 1 puncte distincte {xi} (i=0,1,...,n) în acel interval, atunci

  cu   în I.

Această formulă este demonstrată prin aplicarea iterativă a teoremei lui Rolle pe subintervalele  .

Pentru fiecare x în intervalul de definiție există   în acel interval astfel încât

 

Să notăm termenul de eroare cu   și considerăm o funcție auxiliară   unde   și   Deoarece   sunt rădăcinile funcției  , vom avea   și   Atunci   are n +2 rădăcini. Din teorema lui Rolle,   are n +1 rădăcini, apoi   are o rădăcină  , unde   este în intervalul I. Astfel încât să putem obține  

Deoarece   este un polinom de grad cel mult n, atunci   Astfel  

Deoarece   este rădăcina lui  , atunci  

Prin urmare:  .

În cazul nodurilor de interpolare la distanțe egale  , rezultă că eroarea de interpolare este O .

În cazul particular   (puncte distribuite uniform), apare de obicei o eroare foarte mare de interpolare, cunoscută sub numele de fenomenul Runge, atunci când crește numărul de puncte pentru un interval   dat.

  1. ^ Gautschi, Walter (). „Norm Estimates for Inverses of Vandermonde Matrices”. Numerische Mathematik. 23 (4): 337–347. doi:10.1007/BF01438260. 

Bibliografie

modificare
  • Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980.
  • www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009
  • http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
  • www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010

Legături externe

modificare