Fenomenul Runge

În analiză numerică, fenomenul Runge este o problemă de oscilație la marginile de un interval care se produce la utilizarea unui polinom de interpolare de un grad ridicat. Acest fenomen a fost descoperit de către Carl David Tolmé Runge când explora comportamentul erorilor atunci când se utilizează polinoame de interpolare pentru aproximarea anumitor funcții.[1] În examinarea acestui aspect, matematicianul David Carle Runge Tolmé a descoperit un rezultat contrar intuiției: există configurații în care diferența între funcția de interpolare și cea interpolată este mare și tinde la infinit odată cu n.

Funcțiile oscilează tot mai violent pe măsură ce se îndepărtează de origine
Curba roșie este funcția Runge, curba albastră este polinom de interpolare de gradul 5 și curba verde este polinom de interpolare de grad 9. Aproximarea este din ce în ce mai slabă

IntroducereModificare

Teorema de aproximare a lui Weierstrass prevede că fiecare funcție continuă f (x) definită pe un interval [a, b ] poate fi aproximată ca limita unui șir uniform convergent de polinoame de interpolare:

 

Interpolarea cu puncte echidistante este o abordare naturală și binecunoscută pentru a construi polinoame aproximare. Fenomenul Runge demonstrează, totuși, că această interpolare poate fi divergentă.

ExempluModificare

Considerăm următoarea funcție:

 

Având în vedere   puncte uniform distribuite în segmentul  :

 

În cele din urmă, considerăm polinomul de interpolare   în punctele  , care este polinomul unic  de grad mai mic sau egal cu n astfel încât   pentru orice i. Se notează cu  .

Runge a arătat că eroarea de interpolare între   și   tinde la infinit ca n crește. Formal:

 

De fapt, atunci când creșterea numărului de puncte, vom vedea că polinomul începe să oscileze puternic între punctele de   cu amplitudinea în creștere.

ExplicațieModificare

Aplicând în mod repetat teorema lui Rolle, putem arăta că în cazul interpolării celor   puncte distribuite în mod egal, există un punct în intervalul   încât eroarea dintre funcția generatoare și polinomul de interpolare de grad n este dată de

 

pentru   între (−1, 1). Astfel,

 

Rezultă că eroarea de aproximare crește la infinit odată cu n.

Într-un context mai larg, polinomul de interpolare cu noduri echidistante nu este o metodă stabilă. Într-adevăr, notând (li) , polinoamele Lagrange de bază corespunzătoare elementelor (xi):

 

avem:

 

care ne conduce la următoarea estimare:

 

Constanta   este numită constanta Lebesgue asociată punctelor (xi)'. În caz de puncte echidistante, această constantă poate fi estimată prin:

 

unde e este numărul lui Euler în valoare de 2.7183 ... . Vedem că, în acest caz, constanta Lebesgue tinde rapid la valori mari, mai repede decât poate converge la funcția polinomială de interpolaref[2].

Soluții la fenomenul RungeModificare

Fenomenul Runge demonstrează că interpolarea polinomială nu este cea mai bună metodă de interpolare a funcțiilor.

Putem minimiza oscilațiile de polinoame de interpolare folosind polinomul Cebîșev de interpolare în loc de puncte distribuite în mod egal pentru a interpola. În acest caz, putem arăta că eroarea de interpolare   descrește.

O metodă este utilizarea de noduri care sunt distribuite mult mai dens spre marginile intervalului. [3]

O altă metodă este metoda celor mai mici pătrate. [4]

O altă metodă foarte des întâlnită este aproximarea cu funcții spline (acestea sunt polinoame pe porțiuni; în acest caz, pentru a îmbunătăți aproximarea, vom crește numărul de bucăți și nu gradul de polinoame).

ReferințeModificare

  1. ^ Runge, Carl (), „Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten”, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46: 224–243.  available at www.archive.org
  2. ^ Demailly, Jean-Pierre (), Analyse numérique et équations différentielles (în franceză), EDP Sciences, ISBN 2-86889-891-X Verificați valoarea |isbn=: checksum (ajutor) 
  3. ^ Berrut, Jean-Paul; Trefethen, Lloyd N. (), „Barycentric Lagrange interpolation”, SIAM Review, 46 (3): 501–517, doi:10.1137/S0036144502417715, ISSN 1095-7200 
  4. ^ Dahlquist, Germund; Björk, Åke (), „4.3.4. Equidistant Interpolation and the Runge Phenomenon”, Numerical Methods, pp. 101–103, ISBN 0-13-627315-7 

BibliografieModificare

Legaturi externeModificare