Fenomenul Runge
În analiză numerică, fenomenul Runge este o problemă de oscilație la marginile de un interval care se produce la utilizarea unui polinom de interpolare de un grad ridicat. Acest fenomen a fost descoperit de către Carl David Tolmé Runge când explora comportamentul erorilor atunci când se utilizează polinoame de interpolare pentru aproximarea anumitor funcții.[1] În examinarea acestui aspect, matematicianul David Carle Runge Tolmé a descoperit un rezultat contrar intuiției: există configurații în care diferența între funcția de interpolare și cea interpolată este mare și tinde la infinit odată cu n.
Introducere
modificareTeorema de aproximare a lui Weierstrass prevede că fiecare funcție continuă f (x) definită pe un interval [a, b ] poate fi aproximată ca limita unui șir uniform convergent de polinoame de interpolare:
Interpolarea cu puncte echidistante este o abordare naturală și binecunoscută pentru a construi polinoame aproximare. Fenomenul Runge demonstrează, totuși, că această interpolare poate fi divergentă.
Exemplu
modificareConsiderăm următoarea funcție:
Având în vedere puncte uniform distribuite în segmentul :
În cele din urmă, considerăm polinomul de interpolare în punctele , care este polinomul unic de grad mai mic sau egal cu n astfel încât pentru orice i. Se notează cu .
Runge a arătat că eroarea de interpolare între și tinde la infinit ca n crește. Formal:
De fapt, atunci când creșterea numărului de puncte, vom vedea că polinomul începe să oscileze puternic între punctele de cu amplitudinea în creștere.
Explicație
modificareAplicând în mod repetat teorema lui Rolle, putem arăta că în cazul interpolării celor puncte distribuite în mod egal, există un punct în intervalul încât eroarea dintre funcția generatoare și polinomul de interpolare de grad n este dată de
pentru între (−1, 1). Astfel,
Rezultă că eroarea de aproximare crește la infinit odată cu n.
Într-un context mai larg, polinomul de interpolare cu noduri echidistante nu este o metodă stabilă. Într-adevăr, notând (li) , polinoamele Lagrange de bază corespunzătoare elementelor (xi):
avem:
care ne conduce la următoarea estimare:
Constanta este numită constanta Lebesgue asociată punctelor (xi)'. În caz de puncte echidistante, această constantă poate fi estimată prin:
unde e este numărul lui Euler în valoare de 2.7183 ... . Vedem că, în acest caz, constanta Lebesgue tinde rapid la valori mari, mai repede decât poate converge la funcția polinomială de interpolaref[2].
Soluții la fenomenul Runge
modificareFenomenul Runge demonstrează că interpolarea polinomială nu este cea mai bună metodă de interpolare a funcțiilor.
Putem minimiza oscilațiile de polinoame de interpolare folosind polinomul Cebîșev de interpolare în loc de puncte distribuite în mod egal pentru a interpola. În acest caz, putem arăta că eroarea de interpolare descrește.
O metodă este utilizarea de noduri care sunt distribuite mult mai dens spre marginile intervalului. [3]
O altă metodă este metoda celor mai mici pătrate. [4]
O altă metodă foarte des întâlnită este aproximarea cu funcții spline (acestea sunt polinoame pe porțiuni; în acest caz, pentru a îmbunătăți aproximarea, vom crește numărul de bucăți și nu gradul de polinoame).
Referințe
modificare- ^ Runge, Carl (), „Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten”, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46: 224–243. available at www.archive.org
- ^ Demailly, Jean-Pierre (), Analyse numérique et équations différentielles (în franceză), EDP Sciences, ISBN 2-86889-891-X Verificați valoarea
|isbn=
: checksum (ajutor) - ^ Berrut, Jean-Paul; Trefethen, Lloyd N. (), „Barycentric Lagrange interpolation”, SIAM Review, 46 (3): 501–517, doi:10.1137/S0036144502417715, ISSN 1095-7200
- ^ Dahlquist, Germund; Björk, Åke (), „4.3.4. Equidistant Interpolation and the Runge Phenomenon”, Numerical Methods, pp. 101–103, ISBN 0-13-627315-7
Bibliografie
modificare- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal Format:Détail des éditions, chap. IX, appendice (pp. 319-320)
Legaturi externe
modificare- http://an.lmn.pub.ro/lab/AN_Lab_4_v2.pdf
- www.ingineriebraila.ugal.ro/IngMec/An%20II-22-PA.doc