Lema de acoperire a lui Vitali

Lema de acoperire a lui Vitali reprezintă un rezultat aflat la interferența dintre teoria combinatorică și teoria calcului integral și care este utilizată în teoria măsurii și în cea a spațiilor euclidiene. Este atribuită matematicianului italian Giuseppe Vitali.

Definiția acoperirii Vitali

Fie $(X,d)$ un spațiu metric, ${\mathcal {B}}$ tribul borelienelor lui $X$ și $\mu :{\mathcal {B}}\to \mathbb {{\bar {R}}_{+}}$ o măsură numărabil aditivă cu proprietatea că $\mu (A)<\infty$ pentru orice bilă închisă $A\subset X.$ Fie $A\subset X$ o mulțime și ${\mathcal {F}}$ un sistem de mulțimi închise și mărginite ale lui $X.$ Se spune că ${\mathcal {F}}$ este o acoperire Vitali pentru $A$ sau că $A$ este acoperită în sensul lui Vitali de ${\mathcal {F}}$ dacă fiecare mulțime din ${\mathcal {F}}$ are măsură strict pozitivă și, în plus, există un $a>0$ și un $b>2$ astfel încât pentru orice $x\in A$ și orice $\varepsilon >0$ se poate găsi $F\in {\mathcal {F}}$ cu proprietățile:

• $x\in F;$
• $\mu (F)<\varepsilon ;$
• $\mu (B(F,b\delta (F)))/\mu (F)\leq a,$ unde $\delta (F)$ este diametrul lui $F$ iar $B(F,\delta (F))$ bila deschisă de centru $F$ și rază $\delta (F)$ adică $B(F,\delta (F))=\{x\in X\;|\;d(x,F)<\delta (F)\}.$

Teorema de acoperire a lui Vitali

Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric compact și ${\mathcal {F}}$ o acoperire Vitali pentru o mulțime $A\subset X,$ atunci există o parte finită sau un șir $\{F_{n}\}_{n}$ de elemente din ${\mathcal {F}},$ mutual disjuncte, astfel încât mulțimea $A\setminus \left(\bigcup _{n}F_{n}\right)$ este $\mu -$neglijabilă.

Se consideră acum cazul $X=\mathbb {R} .$ Fie $\lambda$ măsura Lebesgue în $\mathbb {R}$ și $A\subset \mathbb {R}$ o mulțime mărginită. Se spune că o familie de intervale ${\mathcal {I}}$ nedegenerate și mărginite este o acoperire Vitali pentru $A$ dacă pentru orice $x\in A$ și orice $\varepsilon >0$ există un interval $I\in {\mathcal {I}}$ cu $x\in I$ și $\lambda (I)<\varepsilon .$ Teorema de acoperire Vitali susține că dacă ${\mathcal {I}}$ este o acoperire Vitali pentru $A\subset \mathbb {R} ,$ atunci există o parte finită sau un șir $\{I_{n}\}_{n}$ de elemente din ${\mathcal {I}},$ mutual disjuncte, astfel încât mulțimea $E\setminus \left(\bigcup _{n}I_{n}\right)$ este neglijabilă.