Lema de acoperire a lui Vitali

Lema de acoperire a lui Vitali reprezintă un rezultat aflat la interferența dintre teoria combinatorică și teoria calcului integral și care este utilizată în teoria măsurii și în cea a spațiilor euclidiene. Este atribuită matematicianului italian Giuseppe Vitali.

Definiția acoperirii Vitali

modificare

Fie   un spațiu metric,   tribul borelienelor lui   și   o măsură numărabil aditivă cu proprietatea că   pentru orice bilă închisă   Fie   o mulțime și   un sistem de mulțimi închise și mărginite ale lui   Se spune că   este o acoperire Vitali pentru   sau că   este acoperită în sensul lui Vitali de   dacă fiecare mulțime din   are măsură strict pozitivă și, în plus, există un   și un   astfel încât pentru orice   și orice   se poate găsi   cu proprietățile:

  •  
  •  
  •   unde   este diametrul lui   iar   bila deschisă de centru   și rază   adică  

Teorema de acoperire a lui Vitali

modificare

Dacă   este un spațiu metric compact și   o acoperire Vitali pentru o mulțime   atunci există o parte finită sau un șir   de elemente din   mutual disjuncte, astfel încât mulțimea   este  neglijabilă.

Se consideră acum cazul   Fie   măsura Lebesgue în   și   o mulțime mărginită. Se spune că o familie de intervale   nedegenerate și mărginite este o acoperire Vitali pentru   dacă pentru orice   și orice   există un interval   cu   și   Teorema de acoperire Vitali susține că dacă   este o acoperire Vitali pentru   atunci există o parte finită sau un șir   de elemente din   mutual disjuncte, astfel încât mulțimea   este neglijabilă.