Matrice idempotentă

matrice care înmulțită cu ea însăși dă tot pe ea însăși

În algebra liniară, o matrice idempotentă[1] este o matrice care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este tot ea însăși.[2][3] Adică, matricea este idempotentă dacă și numai dacă .[1] Pentru ca acest produs să fie definit, trebuie să fie neapărat o matrice pătrată. Privite astfel, matricile idempotente sunt elemente idempotente⁠(d) ale inelelor de matrici⁠(d).

Exemple de matrici 2 × 2 idempotente:

 

Exemple de matrici 3 × 3 idempotente:

 

Cazul 2 × 2 la numere reale

modificare

Dacă matricea   este idempotentă, atunci

  •  
  •   care implică   deci   sau  
  •   care implică   deci   sau  
  •  

Astfel, o condiție necesară ca o matrice   să fie idempotentă este să fie fie una diagonală, fie ca urma sa să fie egală cu 1. Pentru matricele diagonale idempotente,   și   trebuie să fie fie 1, fie 0.

Dacă  , matricea   va fi idempotentă cu condiția   deci a satisface ecuația de gradul al doilea

  sau  

care este un cerc cu centrul (1/2, 0) și raza 1/2. Cu variabila θ,

 

este idempotentă. Însă   nu este o condiție necesară: orice matrice   cu   este idempotentă.

Proprietăți

modificare

Singularitate și regularitate

modificare

Singura matrice idempotentă care nu este inversabilă este matricea unitate; adică, dacă o matrice care nu este una unitate este idempotentă, numărul său de linii (sau coloane) independente este mai mic decât numărul său de linii (sau coloane).

Asta se poate arăta scriind  , presupunând că A nu este singulară, înmulțind-o cu   se obține  .

Când o matrice idempotentă este scăzută din matricea unitate, rezultatul este și el idempotent. Acest lucru este valabil deoarece

 

Dacă matricea A este idempotentă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv n,  . Acest lucru poate fi demonstrat folosind demonstrarea prin inducție. Pentru  ,  . Presupunând că  , atunci  , deoarece A este idempotentă. Prin inducție, rezultatul este demonstrat.

Valorile proprii

modificare

O matrice idempotentă este întotdeauna diagonalizabilă⁠(d).[4] Valorile sale proprii sunt sau 0, sau 1: dacă   este un vector propriu nenul a unei matrice idempotente   iar   este valoarea sa proprie asociată, atunci   ceea ce implică   Asta implică faptul că determinantul unei matrice idempotente este întotdeauna 0 sau 1. După cum s-a menționat mai sus, dacă determinantul este egal cu unu, matricea este inversabilă și, prin urmare, este matricea unitate.

Urma unei matrice idempotente — suma elementelor de pe diagonala sa principală — este egală cu rangul matricei, prin urmare este întotdeauna un număr întreg. Aceasta oferă o modalitate simplă de a calcula rangul, respectiv urma, unei matrice ale cărei elemente nu sunt specificate (ceea ce este util în statistică, de exemplu, în stabilirea biasului⁠(d) unui eșantion variant ca estimare a varianței întregii populații).

Relații între matrici idempotente

modificare

În analiza de regresie se știe că matricea   produce reziduurile   din regresia vectorului variabilelor dependente   din matricea covariatelor  . (v. secțiunea „Aplicații”.) Acum, fie   o matrice formată dintr-un subset de coloane ale lui   și fie  . Este ușor de demonstrat că atât   cât și   sunt idempotente, dar un fapt oarecum surprinzător este că  . Acest lucru se datorează faptului că  , sau cu alte cuvinte, reziduurile din regresia coloanelor lui   din   sunt 0 deoarece   poate fi interpolat perfect, deoarece este un subset al lui   (este simplu să se arate că   prin substituție directă). Aceasta duce la alte două rezultate importante: unul este că   este simetric și idempotent, iar celălalt este că  , adică   este ortogonal cu  . Aceste rezultate joacă un rol cheie, de exemplu, în obținerea testului F.

Orice matrice asemenea cu una idempotentă este și ea idempotentă. Idempotența este conservată la o schimbarea bazei⁠(d). Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea cu matricea transpusă   cu   fiind idempotentă:  .

Aplicații

modificare

Matricele idempotente apar frecvent în analiza de regresie și econometrie. De exemplu, în metoda liniară a celor mai mici pătrate⁠(d) problema regresiei este de a alege un vector β de estimări de coeficienți astfel încât să fie minimizată suma reziduurilor pătrate (predicții greșite) ei: sub formă de matrice:

de minimizat  

unde   este un vector care conține mărimile variabilelor dependente, iar   este o matrice în care fiecare din coloanele ei este o coloană de observații ale variabilelor independente. Rezultatul estimării este

 

unde prin T este notată matricea transpusă, iar vectorul reziduurilor este:[3]

 

Aici ambele   și   sunt matrici idempotente și simetrice, fapt care simplifică calculul sumei pătratelor reziduurilor:

 

Idempotența lui   joacă un rol și în alte calcule, cum ar fi determinarea varianței estimării  .

  1. ^ a b idempotent” la DEX online
  2. ^ en Chiang, Alpha C. (). Fundamental Methods of Mathematical Economics (ed. 3rd). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0070108137. 
  3. ^ a b en Greene, William H. (). Econometric Analysis (ed. 5th). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0130661899. 
  4. ^ en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. ISBN 0521386322.