Matrice idempotentă
În algebra liniară, o matrice idempotentă[1] este o matrice care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este tot ea însăși.[2][3] Adică, matricea este idempotentă dacă și numai dacă .[1] Pentru ca acest produs să fie definit, trebuie să fie neapărat o matrice pătrată. Privite astfel, matricile idempotente sunt elemente idempotente(d) ale inelelor de matrici(d).
Exemple
modificareExemple de matrici 2 × 2 idempotente:
Exemple de matrici 3 × 3 idempotente:
Cazul 2 × 2 la numere reale
modificareDacă matricea este idempotentă, atunci
- care implică deci sau
- care implică deci sau
Astfel, o condiție necesară ca o matrice să fie idempotentă este să fie fie una diagonală, fie ca urma sa să fie egală cu 1. Pentru matricele diagonale idempotente, și trebuie să fie fie 1, fie 0.
Dacă , matricea va fi idempotentă cu condiția deci a satisface ecuația de gradul al doilea
- sau
care este un cerc cu centrul (1/2, 0) și raza 1/2. Cu variabila θ,
este idempotentă. Însă nu este o condiție necesară: orice matrice cu este idempotentă.
Proprietăți
modificareSingularitate și regularitate
modificareSingura matrice idempotentă care nu este inversabilă este matricea unitate; adică, dacă o matrice care nu este una unitate este idempotentă, numărul său de linii (sau coloane) independente este mai mic decât numărul său de linii (sau coloane).
Asta se poate arăta scriind , presupunând că A nu este singulară, înmulțind-o cu se obține .
Când o matrice idempotentă este scăzută din matricea unitate, rezultatul este și el idempotent. Acest lucru este valabil deoarece
Dacă matricea A este idempotentă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv n, . Acest lucru poate fi demonstrat folosind demonstrarea prin inducție. Pentru , . Presupunând că , atunci , deoarece A este idempotentă. Prin inducție, rezultatul este demonstrat.
Valorile proprii
modificareO matrice idempotentă este întotdeauna diagonalizabilă(d).[4] Valorile sale proprii sunt sau 0, sau 1: dacă este un vector propriu nenul a unei matrice idempotente iar este valoarea sa proprie asociată, atunci ceea ce implică Asta implică faptul că determinantul unei matrice idempotente este întotdeauna 0 sau 1. După cum s-a menționat mai sus, dacă determinantul este egal cu unu, matricea este inversabilă și, prin urmare, este matricea unitate.
Urma
modificareUrma unei matrice idempotente — suma elementelor de pe diagonala sa principală — este egală cu rangul matricei, prin urmare este întotdeauna un număr întreg. Aceasta oferă o modalitate simplă de a calcula rangul, respectiv urma, unei matrice ale cărei elemente nu sunt specificate (ceea ce este util în statistică, de exemplu, în stabilirea biasului(d) unui eșantion variant ca estimare a varianței întregii populații).
Relații între matrici idempotente
modificareÎn analiza de regresie se știe că matricea produce reziduurile din regresia vectorului variabilelor dependente din matricea covariatelor . (v. secțiunea „Aplicații”.) Acum, fie o matrice formată dintr-un subset de coloane ale lui și fie . Este ușor de demonstrat că atât cât și sunt idempotente, dar un fapt oarecum surprinzător este că . Acest lucru se datorează faptului că , sau cu alte cuvinte, reziduurile din regresia coloanelor lui din sunt 0 deoarece poate fi interpolat perfect, deoarece este un subset al lui (este simplu să se arate că prin substituție directă). Aceasta duce la alte două rezultate importante: unul este că este simetric și idempotent, iar celălalt este că , adică este ortogonal cu . Aceste rezultate joacă un rol cheie, de exemplu, în obținerea testului F.
Orice matrice asemenea cu una idempotentă este și ea idempotentă. Idempotența este conservată la o schimbarea bazei(d). Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea cu matricea transpusă cu fiind idempotentă: .
Aplicații
modificareMatricele idempotente apar frecvent în analiza de regresie și econometrie. De exemplu, în metoda liniară a celor mai mici pătrate(d) problema regresiei este de a alege un vector β de estimări de coeficienți astfel încât să fie minimizată suma reziduurilor pătrate (predicții greșite) ei: sub formă de matrice:
- de minimizat
unde este un vector care conține mărimile variabilelor dependente, iar este o matrice în care fiecare din coloanele ei este o coloană de observații ale variabilelor independente. Rezultatul estimării este
unde prin T este notată matricea transpusă, iar vectorul reziduurilor este:[3]
Aici ambele și sunt matrici idempotente și simetrice, fapt care simplifică calculul sumei pătratelor reziduurilor:
Idempotența lui joacă un rol și în alte calcule, cum ar fi determinarea varianței estimării .
Note
modificare- ^ a b „idempotent” la DEX online
- ^ en Chiang, Alpha C. (). Fundamental Methods of Mathematical Economics (ed. 3rd). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0070108137.
- ^ a b en Greene, William H. (). Econometric Analysis (ed. 5th). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0130661899.
- ^ en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. ISBN 0521386322.