În algebra liniară, o matrice pătrată A n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată B n × n astfel încât

unde In este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor. În acest caz matricea B este determinată în mod unic de A, și este numită inversa lui A, notată A−1.[1][2] Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei B.

Definiție

modificare

Matricea   de   se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice   de   astfel încât produsul lor să fie matricea unitate ( )[3], mai exact

 

O matrice pătrată   este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei   este nenul ( ) respectiv nul ( ).

Calculul inversei unei matrice

modificare

Inversa unei matrice 2 × 2

modificare

Inversa unei matrice   se calculează în felul următor:

 

Unde  se mai notează cu  .

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

 

unde   este suma elementelor de pe diagonala principală din  , numită urma unei matrice (din engleză trace)

Inversa unei matrice 3 × 3

modificare

Modul de calcul a inversei unei matrice   este asemănător cu cel anterior de  , întrucât:

 

(A nu se confunda scalarul   cu matricea  )

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu  ) sunt calculate în felul următor:  

Se observă că scalarul   este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea   a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe  , împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de   este următoarea:  

  1. ^ en „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault. . Accesat în . 
  2. ^ en „Invertible Matrices”. www.sosmath.com. Accesat în . 
  3. ^ MIT. „Inverse Matrices” (PDF). math.mit.edu:. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în . 

Legături externe

modificare