Mulțimea lui Cantor

Mulțimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor) este un concept în cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor.

Ilustrarea primilor şase paşi ai operaţiei de construire a mulţimii Cantor

Construire

Mulţimea lui Cantor în spațiul bidimensional 2D.

Fie, pe mulțimea numerelor reale $\mathbb {R}$, intervalul închis $[0,1]\,$. Din acest interval se exclude treimea din mijloc, adică $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$. Rămân intervalele:

$\left[0,{\frac {1}{3}}\right]$ și $\left[{\frac {2}{3}},1\right]$.

Și din acestea se exclude "treimea centrală", ș.a.m.d.

Astfel e definit șirul de mulțimi:

$A_{0}=[0,1]\,$

$A_{1}=[0,{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},1]$

$A_{2}=[0,{\frac {1}{9}}]\cup [{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}]\cup [{\frac {8}{9}},1]$

Atunci mulțimea lui Cantor este:

$K=\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ .

Proprietăți

Mulţimea lui Cantor în spațiul tridimensional 3D.

Suma lungimilor intervalelor înlăturate din intervalul unitate este:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1$.

Așadar, mulțimea lui Cantor are următoarele proprietăți:

• Nu are nici un punct de acumulare, deci nu este densă în niciun punct.

• Are măsura Lebesgue nulă.

• Dimensiunea Hausdorff a mulțimii nu este număr întreg, deci mulțimea lui Cantor este un fractal.

• Este echipotentă cu mulțimea numerelor reale $\mathbb {R}$.

Bibliografie

• Iacob, Caius: Curs de matematici superioare, București, 1957
• Cantor, Georg: On the Power of Perfect Sets of Points, Acta Mathematica 4, 1993. ISBN 0-201-58701-7

Vezi și

• Mulțime densă
• Mulțime

Legături externe

• en Mulțimile lui Cantor la Cut-the-Knot