Număr triunghiular și pătratic

Număr triunghiular și pătratic
	; Numărul triunghiular și pătratic 36 prezentat ca număr triunghiular și ca număr pătratic
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere poligonale
Formula
Primii termeni	0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900
Index OEIS	A001110; Square triangular;

Pentru numerele triunghiulare pătratice, vedeți număr triunghiular pătratic.

În matematică, un număr triunghiular și pătratic sau număr pătratic și triunghiular este un număr care este atât un număr triunghiular, cât și un număr pătratic. Există infinit de multe asemenea numere, primele câteva sunt:^[1]

0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625

Formule

Notând cu $N k$ al $k$ -lea număr triunghiular și pătratic, cu $s k$ respectiv $t k$ numerele corespunzătoare pătratice și triunghiulare există relația:

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.

Fie $n$ rădăcina triunghiulară a unui număr triunghiular $N = n (n + 1) / 2$ . Rezolvând această ecuație de gradul 2 se obține:

n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.

Deci, $N$ este triunghiular ( $n$ este întreg) dacă și numai dacă $8 N + 1$ este un pătrat. Prin urmare, numărul pătratic $M 2$ este și el triunghiular dacă și numai dacă $8 M 2 + 1$ este un pătrat, adică numerele $x$ și $y$ satisfac relația $x 2 - 8 y 2 = 1$ . Aceasta este o ecuație Pell cu $n = 8$ . Toate ecuațiile Pell au pentru orice $n$ soluția trivială $x = 1, y = 0$ , care idexată este notată $(x 0, y 0) = (1,0)$ . Dacă $(x k, y k)$ este cea de a $k$ -a soluție netrivială a oricărei ecuații Pell pentru un $n$ dat, se poate arăta că

{\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}

Există o infinitate de soluții la orice ecuație Pell, printre care există una netrivială ori de câte ori $n$ nu este un pătrat. Prima soluție netrivială când $n = 8$ este (3,1). Soluția $(x k, y k)$ pentru $n = 8$ dă un număr triunghiular și pătratic și rădăcinile sale pătratice și triunghiulare după cum urmează:

s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.

Prin urmare, primul număr triunghiular și pătratic, derivat din (3,1), este 1, iar următorul, derivat din 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), este 36.

Șirurile $N k$ , $s k$ și $t k$ sunt șirurile OEIS A001110^[1], respectiv OEIS A001109^[2] și OEIS A001108^[3].

În 1778 Leonhard Euler a determinat formula explicită^[4]^[5]

N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Alte formule echivalente (obținute prin dezvoltarea acestei formule) sunt:

{\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}

Formulele explicite corespondente pentru $s k$ și $t k$ sunt:^[5]

{\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}

Relații de recurență

Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare și pătratice, precum și pentru laturile pătratului și triunghiului implicat: ^[6]

{\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}

Și:^[4]^[5]

{\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}

Note

^ ^a ^b Șirul A001110 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Șirul A001109 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Șirul A001108 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ ^a ^b en Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
^ ^a ^b ^c la Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (O regulă ușoară pentru problemele diofantice rezolvate rapid prin numere întregi)”. Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg. 4: 3–17. Accesat în 11 mai 2009. Prezentată la Academia din St. Petersburg la 4 mai 1778
^ Eric W. Weisstein, Square Triangular Number la MathWorld.

Portal Matematică

[OEIS-1] Șirul A001110 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[2] Șirul A001109 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[3] Șirul A001108 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[Dickson-4] Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.

[Euler-5] Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (O regulă ușoară pentru problemele diofantice rezolvate rapid prin numere întregi)”. Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg. 4: 3–17. Accesat în 11 mai 2009. Prezentată la Academia din St. Petersburg la 4 mai 1778

[6] Eric W. Weisstein, Square Triangular Number la MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Numărul triunghiular și pătratic 36 prezentat ca număr triunghiular și ca număr pătratic
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere poligonale
Formula	${\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$
Primii termeni	0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900
Index OEIS	A001110 Square triangular