Număr triunghiular pătratic

Pentru numerele triunghiulare care sunt și pătratice, vedeți număr triunghiular și pătratic.

În teoria numerelor suma primelor n cuburi este pătratul celui de al n-lea număr triunghiular, adică

Număr triunghiular pătratic

Un pătrat a cărui latură este un număr triunghiular poate fi divizat în pătrate și jumătăți de pătrate care pot fi lipite de cuburi (Gulley (2010))
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere politopice
Formula	$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}$
Primii termeni	0, 1, 9, 36, 100, 225, 441
Index OEIS	A000537 Triangular number squared

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.$

Aceeași ecuație poate fi scrisă mai compact folosind notația matematică pentru însumare:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.$

Această identitate este uneori numită teorema Nicomah, după Nicomah din Gerasa (c. 60 – c. 120).

Istoric

Nicomah, la sfârșitul capitolului 20 din Introducere în aritmetică, a subliniat că dacă se scrie o listă a numerelor impare, primul este cubul lui 1, suma următoarelor două este cubul lui 2, suma următoarelor trei este cubul lui 3 etc. El nu merge mai departe de atât, dar din aceasta rezultă că suma primelor n cuburi este egală cu suma primelor $n(n+1)/2$ numere impare, adică numerele impare de la 1 la $n(n+1)-1$. Media acestor numere este în mod evident $n(n+1)/2$ și numărul lor este tot $n(n+1)/2$, deci suma lor este ${\bigl (}n(n+1)/2{\bigr )}^{2}.$

Mulți matematicieni au studiat și au demonstrat teorema Nicomah. Stroeker (1995) susține că „fiecare student al teoriei numerelor cu siguranță trebuie să se fi minunat de acest fapt miraculos”. Pengelley (2002) găsește referințe privind identitatea nu numai în lucrările lui Nicomah din Iordania al primului secol e.n., ci și în cele din Aryabhata în India în secolul al V-lea, și în cele din Al-Karadji din anul c. 1000 în Persia. Bressoud (2004) menționează mai multe lucrări matematice timpurii suplimentare despre această formulă: Al-Qabisi (Arabia din secolul al X-lea), Gersonide (c. 1300, Franța) și Nilakantha Somayaji (circa 1500, India) și reproduce demonstrația vizuală a lui Nilakantha.

Valori numerice și interpretări geometrice și probabilistice

Șirul numerelor triunghiulare pătratice este:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081

Aceste numere pot fi privite ca numere figurative, o generalizare hiperpiramidală cvadridimensională a numerelor triunghiulare și numerelor pătrate piramidale.

După cum observă Stein (1971), aceste numere indică și numărul de dreptunghiuri cu laturile orizontale și verticale formate într-o grilă pătrată n × n. De exemplu, punctele unei grile 4 × 4 (sau un pătrat format din trei pătrate mai mici pe o parte) poate forma 36 de dreptunghiuri diferite. Numărul de pătrate dintr-o rețea pătrată este numărat în mod similar cu numerele pătrate piramidale.

Identitatea admite și următoarea interpretare probabilistică naturală. Fie X, Y, Z, W patru numere întregi alese la întâmplare independent și uniform între 1 și n. Atunci, probabilitatea ca W să fie cel mai mare dintre cele patru numere este egală cu probabilitatea ca Y să fie cel puțin la fel de mare ca X și că W este cel puțin la fel de mare ca Z. Adică $P[\max(X,Y,Z)\leq W]=P[X\leq Y\wedge Z\leq W]$. Pentru orice valoare particulară a lui W, combinațiile dintre X, Y și Z care fac ca W să fie cel mai mare formează un cub 1 ≤ X, Y, Z ≤ n deci (adăugând dimensiunea acestui cub la toate alegerile lui W) numărul de combinații de X, Y, Z, W pentru care W este cel mai mare este o sumă de cuburi, partea stângă a identității Nicomah. Seturile de perechi (X, Y) cu X ≤ Y și de perechi (Z, W) cu Z ≤ W formează triunghiuri dreptunghiulare isoscele, iar setul din partea dreaptă a ecuației probabilităților este produsul cartezian al acestor două triunghiuri, deci dimensiunea sa este pătratul unui număr triunghiular din partea dreaptă a identității Nicomah. Probabilitățile în sine sunt laturile stânga respectiv dreapta ale identității Nicomah, fiind normalizate pentru a forma probabilități prin împărțirea ambelor părți cu n⁴.

Demonstrația matematică se găsește pe versiunea în limba engleză a articolului, dar există și demonstrații vizuale.

Generalizări

Un rezultat similar teoremei Nicomah este valabil pentru toate sumele de puteri, și anume, că sumele de puteri impare sunt un polinom format din numere triunghiulare. Acestea se numesc polinoame Faulhaber, dintre care suma cuburilor este cel mai simplu și elegant exemplu. Totuși, în niciun alt caz o sumă de puteri nu este un pătrat al alteia.

Stroeker (1995) a studiat condiții mai generale în care suma unei succesiuni consecutive de cuburi formează un pătrat. Garrett & Hummel (2004) și Warnaar (2004) au studiat analogii polinomiali ai formulei numărului triunghiular pătrat, în care seria de polinoame se adaugă pătratului unui alt polinom.

Bibliografie

• en Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002), „Two quick combinatorial proofs of $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$” (PDF), College Mathematics Journal, 33 (5): 406–408, doi:10.2307/1559017, JSTOR 1559017 
• en Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (2006), „Summing cubes by counting rectangles” (PDF), College Mathematics Journal, 37 (5): 387–389, doi:10.2307/27646391, JSTOR 27646391 
• en Bressoud, David (2004), Calculus before Newton and Leibniz, Part III (PDF), AP Central 
• en Edmonds, Sheila M. (1957), „Sums of powers of the natural numbers”, The Mathematical Gazette, 41: 187–188, doi:10.2307/3609189, JSTOR 3609189, MR 0096615 
• en Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004), „A combinatorial proof of the sum of q-cubes”, Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Research Paper 9, doi:10.37236/1762 , MR 2034423 
• en Gulley, Ned (4 martie 2010), Shure, Loren, ed., Nicomachus's Theorem, Matlab Central 
• en Kanim, Katherine (2004), „Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares”, Mathematics Magazine, 77 (4): 298–299, doi:10.2307/3219288, JSTOR 3219288 
• en Nelsen, Roger B. (1993), Proofs without Words, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7 
• en Pengelley, David (2002), „The bridge between continuous and discrete via original sources”, Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF), National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden 
• en Row, T. Sundara (1893), Geometric Exercises in Paper Folding, Madras: Addison, pp. 47–48 
• en Stein, Robert G. (1971), „A combinatorial proof that $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$”, Mathematics Magazine, 44 (3): 161–162, doi:10.2307/2688231, JSTOR 2688231 
• en Stroeker, R. J. (1995), „On the sum of consecutive cubes being a perfect square”, Compositio Mathematica, 97 (1–2): 295–307, MR 1355130 
• en Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9 
• en Warnaar, S. Ole (2004), „On the q-analogue of the sum of cubes”, Electronic Journal of Combinatorics, 11 (1), Note 13, doi:10.37236/1854 , MR 2114194 
• en Wheatstone, C. (1854), „On the formation of powers from arithmetical progressions” (PDF), Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145–151, doi:10.1098/rspl.1854.0036  

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Nicomachus's theorem la MathWorld.