Produs interior Frobenius

În matematică produsul interior Frobenius este o operație binară între două matrici, ar cărei rezultat este un scalar. Este adesea notat $\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$. Operația este un produs interior pe elemente a două matrici ca și cum ar fi vectori și satisface axiomele pentru un produs interior. Cele două matrici trebuie să aibă aceeași dimensiune — același număr de linii și coloane, dar nu sunt restricționate să fie matrici pătrate.

Poartă numele matematicianului german Ferdinand Georg Frobenius.

Definiție

Fiind date două matrici complexe n×m A și B, scrise explicit ca

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$

produsul scalar Frobenius este deefinit ca fiind

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right)$

unde suprabararea indică conjugata complexă, iar $^{\dagger }$ indică adjuncta. Explicit, această sumă este

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}$

Relația cu alte produse

Dacă A și B sunt fiecare matrici reale, produsul scalar Frobenius este suma elementelor din produsul Hadamard. Dacă matricile sunt vectorizate (adică, convertite în vectori coloană, notați cu „$\mathrm {vec} (\cdot )$”), atunci

$\mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,$$\quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}$

Prin urmare

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} ).$

Proprietăți

Este o formă sesquiliniară^⁠(d), pentru patru matrici complexe A, B, C, D și două numere complexe a și b:

$\langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$

$\langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }$

Permutarea matricelor înseamnă o conjugare complexă:

$\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}$

Dacă este aceeași matrice,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0$,

și

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0}$.

Norma Frobenius

Produsul scalar are norma Frobenius:

$\|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.$

Exemple

Matrici reale

Pentru două matrici reale, dacă

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}$

atunci

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)=21$

Matrici complexe

Pentru două matrici complexe, dacă

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}}$

atunci

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6=-26-7i$

în timp ce

$\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)=-26+7i$

Produsele scalare Frobenius ale lui A cu sine însăși, respectiv, B cu sine însăși, sunt:

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40$$\qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74$