Matrice adjunctă

matrice complexă obținută prin transpunerea unei matrice și conjugarea tuturor elementelor sale

În matematică matricea adjunctă,[1] cunoscută și sub numele de transpusa conjugată[2] sau transpusa hermitiană[2], a unei matrice complexe este o matrice de obținută prin transpunerea lui și conjugarea complexă a fiecărui element (conjugatul complex al lui fiind , pentru numere reale și ). Este adesea notată prin [1][3], [3] sau [4] și foarte obișnuit în fizică prin .

Pentru o matrice reală, adjuncta este chiar transpusa sa, .

Definiție

modificare

Adjuncta unei matrice   este definită formal prin:

 

unde indicii   indică al  -lea element, pentru   și  , iar suprabararea indică conjugatul complex al unui scalar.

Această definiție poate fi scrisă și ca

 

unde   indică transpusa iar   indică matricea cu elementele conjugate complex.

Adjuncta matricei   este notată prin simbolurile:

  •  , uzual în algebra liniară
  •   uzual în algebra liniară
  •   uzual în mecanica cuantică
  •  , uzual pentru pseudoinversa Moore–Penrose⁠(d)

În unele cazuri prin   este notată matricea cu doar elementele conjugate complex, fără a fi transpusă.

Se dorește calculul adjunctei următoarei matrice  .

 

Se face transpunerea:

 

Apoi se conjugă complex fiecare element:

 

Observații

modificare

O matrice pătrată   cu elementele   se numește

  • hermitiană sau autoadjunctă dacă  ; adică  .
  • antihermitiană dacă  ; adică  .
  • normală dacă  .
  • unitară dacă  , echivalent  , echivalent  .

Chiar dacă   nu este pătrată, cele două matrici   și   sunt ambele hermitiene și pozitiv semidefinite.

Adjuncta lui   cu elemente reale se reduce la transpusa lui   deoarece conjugatul unui număr real este numărul însuși.

Motivare

modificare

Adjuncta poate fi motivată observând că numerele complexe pot fi reprezentate prin matrici reale  , respectând adunarea și înmulțirea matricilor:

 

Adică, se asociază fiecărui număr complex   matricea reală   a transformării liniare din planul complex (văzut ca un spațiu vectorial real  ), la care se aplică înmulțirea complexă a lui   în  .

Astfel, o matrice   de numere complexe ar putea fi bine reprezentată printr-o matrice   de numere reale. Prin urmare, adjuncta apare foarte natural ca rezultat al transpusei unei astfel de matrice — atunci când este privită din nou ca o matrice   formată din numere complexe.

Proprietăți ale adjunctei

modificare
  •   pentru două matrice oarecare   și   de aceleași dimensiuni.
  •   pentru orice număr complex   și orice matrice  .
  •   pentru orice matrice   și orice matrice  . De observat că ordinea factorilor este inversată.[3]
  •   pentru orice matrice  , de exemplu adjuncta este o involuție.
  • Dacă   este o matrice pătrată, atunci   unde prin   este notat determinantul lui  .
  • Dacă   este o matrice pătrată, atunci   unde prin   este notată urma lui  .
  •   este inversabilă dacă și numai dacă   este inversabilă, iar în acest caz  .
  • valorile proprii ale   sunt conjugatele complexe ale valorilor proprii ale  .
  •   pentru orice matrice  , orice vector   și orice vector  . Aici, prin   este notat produsul intern complex standard pe  , și similar pentru  .
  1. ^ a b Veronica Teodora Borcea, Cătălina Ileana Davideanu, Corina Forăscu, Probleme de algebră liniară Anexa: Matrice și determinanți Arhivat în , la Wayback Machine., Iași, Ed. „Gh. Asachi”, 2000
  2. ^ a b Călin-Adrian Popa, Algoritmi de învățare pentru rețele neuronale Clifford (Teză de doctorat, 2015), Universitatea Politehnica Timișoara, accesat 2023-04-28
  3. ^ a b c en Weisstein, Eric W. „Conjugate Transpose”. mathworld.wolfram.com. Accesat în . 
  4. ^ en H. W. Turnbull, A. C. Aitken, "An Introduction to the Theory of Canonical Matrices," 1932

Legături externe

modificare