Regula lui Born

Regula lui Born (numită și legea Born, regula Born sau legea lui Born), formulată de fizicianul german Max Born în 1926, este o lege fizică a mecanicii cuantice care spune probabilitatea cu care o măsurare în cadrul unui sistem cuantic o să dea un rezultat dat. În cea mai simplă formă a sa, ea precizează că densitatea probabilității de a găsi o particulă într-un anumit punct este proporțională cu pătratul normei funcției de undă a particulei în acel punct. Regula lui Born este unul dintre principiile cheie ale mecanicii cuantice.

Regula lui Born afirmă că dacă un observabil corespunzător unui operator auto-adjunct $A$ cu un spectru discret se măsoară într-un sistem cu o funcție de undă normalizată $|\psi \rangle$ (a se vedea notația Bra-ket), atunci

• rezultatul măsurat va fi una dintre valorile proprii $\lambda$ a lui $A$ , și
• probabilitatea măsurării unei valori proprii date $\lambda _{i}$ va fi egală cu $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ , unde $P_{i}$ este proiecția pe spațiul propriu al lui $A$ corespunzător lui $\lambda _{i}$ .

(În cazul în care spațiul propriu al lui $A$ corespunzător lui $\lambda _{i}$ este unidimensional și este cuprins de vectorul propriu normalizat $|\lambda _{i}\rangle$ , $P_{i}$ este egal cu $|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|$ , deci probabilitatea $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ este egală cu $\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle$ . Deoarece numărul complex $\langle \lambda _{i}|\psi \rangle$ este cunoscut ca amplitudinea de probabilitate pe care vectorul de stare $|\psi \rangle$ i-o atribuie vectorului propriu $|\lambda _{i}\rangle$ , este comun să se descrie regula Born ca spunându-ne că probabilitatea este egală cu amplitudinea la pătrat (de fapt amplitudinea înmulțită cu propria ei conjugată complexă). În mod echivalent, probabilitatea poate fi scrisă ca $|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}$ ).

În cazul în care spectrul $A$ nu este complet discret, teorema spectrală dovedește existența unei anumite măsuri spectrale $Q$ a lui $A$ . În acest caz,

• probabilitatea ca rezultatul măsurării să se situeze într-un set măsurabil $M$ va fi dată de $\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle$ .

Având o funcție de undă $\psi$ pentru o singură particulă fără structură în spațiul de poziție, aceasta se reduce la a spune că funcția densității de probabilitate $p(x,y,z)$ pentru o măsurare a poziției la momentul $t_{0}$ va fi dată de

$p(x,y,z)=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}$