Serie formală

În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom. A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

DefinițieModificare

Fie   un inel integru. Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul   o funcție  

Fie mulțimea valorilor lui   Acestei mulțimi i se asociază expresia:

 

unde   este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero. Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de   se mai scrie   iar elementele   se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru   se notează  

ExempleModificare

  Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul   este o serie formală:
 

astfel încât există   pentru care   iar   În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

 

Dacă   atunci gradul polinomului f se consideră a fi  

    
 .   
    

  În exemplul   se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia. Pentru o serie formală oarecare   nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural   astfel încât   pentru   Există însă cel mai mic număr natural   pentru care   (eventual  ).

Ordinul unei serii formaleModificare

  Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul   numărul:

 

Operații cu serii formaleModificare

Fie   și   două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul   Se definește suma și produsul lor astfel:

 
 

  Dacă   este un inel comutativ, atunci și   este un inel comutativ.

  "Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ   sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul   sunt asociative și comutative.

Seria formală   este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă   atunci seria formală   este opusa seriei formale   întrucât   Seria formală   este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabileModificare

  O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ  

 

este inversabilă în   dacă și numai dacă elementul   este inversabil în  

  Se arată mai întâi că dacă seria formală   este inversabilă în   atunci   este inversabilă în   Fie   astfel încât   Atunci   deci   este inversabil în  

Reciproc, acum se presupune că elementul   este inversabil în   și se arată că seria formală   este inversabilă în   Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală   astfel încât   Pentru aceasta, se arată că există elementele   astfel încât:

 
 
 
 
 
 

Din   rezultă că  

Din   rezultă că  

Din   rezultă că  

Dacă se presupune că sunt determinați   atunci din relația   rezultă că  

Deci există o serie formală   astfel încât  

Exemple de serii formale inversabileModificare

  Fie   Deoarece   rezultă că:
 

Se observă că   este inversabil în   dar nu este inversabil în  

  Fie  

Elementul   este inversabil, deci seria formală   este inversabilă în   Se determină seria formală:

 

Se obține:  

Prin identificarea coeficienților, se obține:

              deci  
              deci  
              deci  
              deci  
              deci  
              deci  
              deci  

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

 

 

AplicațiiModificare

Fie   și   Se arată că   Există relațiile:

 
 
 
  (deoarece toți coeficienții puterilor lui   sunt nuli).

Prin urmare   Rezultă:

  de unde  

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent. Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

  Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ  

 

seria formală:

 

Derivata unei serii formale   se mai notează   sau  

Se remarcă faptul că dacă   este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci   este derivata obișnuită a funcției  

 

Funcțiile trigonometrice formaleModificare

  Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

 

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

 

  Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

 

 

 

 

 

 

 

De remarcat faptul că:  

  Dacă   atunci :

 
 

  Se consideră seriile formale în variabila   cu coeficienți reali:

 
 
 

Se remarcă faptul că:   De asemenea:

 
 

Derivând și seria formală   se obține:

 

Dacă   are ordinul zero, adică   Însă   prin urmare   De aici rezultă și   deci:

 
 

Funcția exponențialăModificare

  Se numește funcție exponențială funcția   definită prin seria formală:

 

 

 

 

 

 
 

unde  

Prin urmare:  

Pentru funcția exponențială   se mai folosește și notația  

Se remarcă faptul că  

BibliografieModificare

  • Miron Nicolescu - Analiză matematică, vol. I, 1957;
  • P. Samuel, O. Zariski - Comutative algebra, vol. I, 1959;
  • N. Radu, I. D. Ion - Algebra, 1970.