Sigma-algebră

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

DefinițieModificare

Considerăm mulțimea  . Notăm   mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci o submulțime   a  , i.e.   se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază   este element al lui   :

  .

2. Dacă   conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia   :

 

3. Dacă un număr infinit de mulțimi aparțin lui   , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui   :

 

ConsecințeModificare

  • Din condițiile 1 și 2 rezultă:
  .
  • Dacă   unde   , atunci din legile lui De Morgan rezultă:
  .
  • De aici rezultă imediat că, dacă   , atunci:
  .
  • Dacă   atunci
  .

Așadar,   este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

ExempleModificare

  • σ- algebră trivială (discretă):
  .
  • σ - algebră grosieră:
  .

BibliografieModificare

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi șiModificare

Legături externeModificare