Simetria derivatei a doua

În matematică, simetria derivatei a doua se referă la posibilitatea interschimbării ordinii de derivare parțială a unei funcții f. Fie funcția f de n variabile.

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

$f(x_{1},x_{2},....,x_{n})$

atunci funcția derivată intr-un punct X₀ din R se notează cu

$f\prime \ ({\overrightarrow {X_{0}}})$

sau

$f\prime \ (x_{1},x_{2},...,x_{n})$

fiindcă

${\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {(x_{1},x_{2},...,x_{n})}}\in \,\mathbb {R} ^{n}$

Dacă derivata parțială în raport cu X_i a lui f se notează cu indicele i, atunci simetria presupune că există două derivate parțiale de ordinul doi, notate $f=f\prime \prime (X_{i})=f\prime ({\overrightarrow {f\prime \ ({\overrightarrow {X_{i}}})}})$ ce satisfac egalitatea următoare:

$f\prime \prime _{ij}=f\prime \prime _{ji}$

Observație: se ințelege că acestea sunt de asemenea funcții de variabilă ${\overrightarrow {x_{0}}}={\overrightarrow {(x_{1},x_{2},...,x_{n})}}$ definită ca mai sus.

Teorema lui Clairaut

Matricea având ca elemente valorile derivatei de ordinul II a funcției, se numește matricea hessiană sau matrice Hess asociată lui f. Elementele din afara diagonalei principale a acestei matrice sunt derivate mixte, obținute prin derivarea de ordinul doi a funcției în raport cu două variabile diferite.

Matricea Hesse este o matrice simetrică, iar matematic acest lucru se exprimă prin faptul că f are mai mult de o derivată parțială într-un punct. Adică cel puțin două. Teorema lui Clairaut dă o condiție suficientă pentru ca f să aibă o matrice Hesse într-un punct, adică să aibă toate derivatele de rand doi de pe diagonala principala diferite de 0.

Exprimarea matematică

Simetria înseamnă că

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

Această egalitate se poate scrie și ca

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f.$

Alfel, simetria poate fi scrisă ca o formulă algebrică folosind operatorul diferențial D_i care primește derivata parțială în raport cu x_i:

D_i . D_j = D_j . D_i.

Din relație se deduce că inelul operatorilor diferențiali cu coeficienți constanți, generați de D_i, este comutativ. Dar trebuie să fie specificat un domeniu pentru acești operatori. Este ușor de verificat că simetria se aplică la monoame, deci putem lua polinomele în x_i ca domeniul funcției f(x).

Teorema lui Clairaut

În analiza matematică, teorema lui Schwarz-Clairaut, numită după Alexis Clairaut și Hermann Schwarz, spune că

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

sunt derivate parțiale de ordinul doi continue în orice punct dat $\mathbb {R} ^{n}$, notat cu, $(a_{1},\dots ,a_{n}),$ atunci pentru $1\leq i,j\leq n,$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

Altfel spus, derivatele parțiale de ordinul doi ale acestei funcții comută în acest punct.