Spațiu cu măsură

Nu confundați cu Spațiu măsurabil.

Un spațiu cu măsură este un obiect de bază în teoria măsurii, o ramură a matematicii care studiază noțiuni generalizate ale volumelor. Conține o mulțime subiacentă, submulțimile acestei mulțimi care sunt fezabile pentru măsurare ( $σ$ -algebra) și metoda care este folosită pentru măsurare (măsura). Un exemplu important de spațiu cu măsură este un spațiu de probabilitate.

Un spațiu măsurabil este format din primele două componente fără o măsură specifică.

Definiție

Un spațiu cu măsură este un triplet $(X,{\mathcal {A}},\mu ),$ unde^[1]^[2]

$X$ este o mulțime;
${\mathcal {A}}$ este o $σ$ -algebră pe mulțimea $X$ ;
$\mu$ este o măsură pe $(X,{\mathcal {A}})$ .

Cu alte cuvinte, un spațiu cu măsură constă dintr-un spațiu măsurabil $(X,{\mathcal {A}})$ împreună cu o măsură pe el.

Exemplu

Fie $X=\{0,1\}$ . ${\textstyle \sigma }$ -algebra pe mulțimi finite este de obicei mulțimea părților, care este mulțimea tuturor submulților (ale unei mulțimi date) și este notată cu ${\textstyle \wp (\cdot ).}$ Respectând această convenție, alegem ${\mathcal {A}}=\wp (X).$

În acest caz simplu, mulțimea părților poate fi scrisă în mod explicit: $\wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.$

Ca măsură, definim ${\textstyle \mu }$ prin $\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},$ deci ${\textstyle \mu (X)=1}$ (din aditivitatea măsurilor) și ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$ (din definiția măsurilor).

Aceasta conduce la spațiul cu măsură ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ Este un spațiu de probabilitate, deoarece ${\textstyle \mu (X)=1.}$ Măsura ${\textstyle \mu }$ corespunde distribuției Bernoulli cu ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ care este folosită, de exemplu, pentru a modela o monedă ideală.

Clase importante de spații cu măsură

Cele mai importante clase de spații cu măsură sunt definite de proprietățile măsurilor asociate acestora. Aceasta include, în ordine crescătoare a generalității:

Spații de probabilitate, un spațiu cu măsură unde măsura este o măsură de probabilitate^[1]
Spații de măsură finită, unde măsura este o măsură finită^[3]
$\sigma$ -spații de măsură finită, unde măsura este o $\sigma$ -măsură finită^[3]

O altă clasă de spații cu măsură sunt spațiile cu măsură completă.^[4]

Note

^ ^a ^b Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ ^a ^b Anosov, D.V. (2001), „Measure space”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 33. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kosorok83-1] Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[eommeasurespace-3] Anosov, D.V. (2001), „Measure space”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[Klenke33-4] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 33. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]

[2]

[3]

[4]