Subtangentă

segment determinat de proiecția ortogonală pe axa Ox a unei tangente la o curbă

În geometrie subtangenta[1] și termenii înrudiți sunt anumite segmente de dreaptă definite folosind tangenta la o curbă într-un punct dat și axele de coordonate. Astăzi termenii sunt oarecum arhaisme, dar au fost folosiți curent până la începutul secolului al XX-lea.

Subtangenta și noțiuni înrudite pentru o curbă (cu negru) într-un punct dat P. Tangentele și normalele sunt afișate în verde și respectiv albastru. Distanțele afișate sunt ordonata (AP), tangenta (TP), subtangenta (TA), normala (PN) și subnormala (AN). Unghiul φ este unghiul de înclinare al dreptei tangente sau unghiul tangențial.

Definiții

modificare

Fie P = (xy) un punct pe o curbă dată și A = (x , 0) proiecția sa pe axa Ox. Se desenează tangenta la curbă în P și fie T punctul în care această dreaptă intersectează axa Ox. Atunci segmentul TA este definit ca fiind subtangenta în P[1]. Similar, dacă normala la curbă în P intersectează axa Ox în N, atunci AN se numește subnormala în P.[2] În acest context, lungimile PT și PN se numesc tangenta și normala, dar a nu se confunda cu dreptele tangentă și normală în P.

Ecuații

modificare

Fie φ unghiul de înclinare al tangentei în raport cu axa Ox; acesta este cunoscut și sub numele de unghi tangențial. Atunci

 

Ca urmare, subtangenta este

 

iar subnormala este

 

Normala este dată de

 

iar tangenta de

 

Definiții polare

modificare
 
Subtangenta polară și noțiuni înrudite într-un punct dat P de pe o curbă (cu negru). Dreptele tangente și normale sunt afișate în verde, respectiv albastru. Distanțele afișate sunt raza (OP), subtangenta polară (OT) și subnormala polară (ON) . Unghiul θ este unghiul radial, iar ψ este unghiul de înclinare a tangentei la rază, adică unghiul tangențial polar.

Fie P = (rθ) un punct pe o curbă dată definit în coordonate polare și fie O originea. Se desenează o dreaptă prin O care este perpendiculară pe OP și fie T punctul în care această dreaptă intersectează tangenta la curbă în P. Similar, fie N punctul în care normala curbei intersectează dreapta. Atunci OT și ON sunt subtangentă polară, respectiv subnormala polară a curbei în P.

Ecuații polare

modificare

Fie ψ unghiul dintre tangentă și raza OP; acesta este cunoscut și sub denumirea de unghi tangențial polar. Atunci

 

Astfel că subtangenta polară este

 

iar subnormala polară este

 

Bibliografie

modificare
  • en J. Edwards (). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 150, 154. 
  • en B. Williamson "Subtangent and Subnormal" and "Polar Subtangent and Polar Subnormal" in An elementary treatise on the differential calculus (1899) p 215, 223 Internet Archive