Unghi tangențial

unghiul dintre tangenta într-un punct la o curbă dată și axa Ox

În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa Ox.[1] (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.[2])

Unghiul tangențial φ al unei curbe oarecare P

Ecuații

modificare

Dacă o curbă este definită parametric prin (x(t), y(t)), atunci unghiul tangențial φ în t este definit (până la un multiplu de ) prin[3]

 

Aici, simbolul „   ” (prim) indică derivata în raport cu t. Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză (x(t), y(t)), în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul

 

este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la t este unghiul φ astfel încât (cos φ, sin φ) este versorul tangent la t.

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului⁠(d) s, astfel încât | x′(s), y′(s) | = 1, atunci definiția se simplifică la

 

În acest caz, curbura κ este dată de φ′(s), unde κ se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta.[1] Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:[1][4]

 
 

Dacă curba este dată de graficul funcției y = f(x), atunci se poate lua (x, f(x)) ca parametrizare, și se poate considera că φ este între π/2 și π/2. Asta duce la expresia explicită

 

Unghi tangențial polar

modificare

În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct.[5][6] Dacă prin ψ este notat unghiul tangențial polar, atunci ψ = φθ, unde φ este ca mai sus și θ este, ca de obicei, unghiul polar.

Dacă curba este definită în coordonate polare prin r = f(θ), atunci unghiul tangențial polar ψ la θ este definit (până la un multiplu de ) prin

 .

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului s drept r = r(s), θ = θ(s), astfel încât | r′(s), ′(s) | = 1, atunci definiția devine

 .

Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.[5][6]

  1. ^ a b c Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.
  2. ^ en Whewell, W. (). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671.  Această lucrare folosește φ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.
  3. ^ en Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.
  4. ^ en Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN 978-0-9728482-4-4. 
  5. ^ a b en Williamson, Benjamin (). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222. 
  6. ^ a b en Logarithmic Spiral la PlanetMath

Lectură suplimentară

modificare
  • en „Notations”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (în French). 
  • en Yates, R. C. (). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126. 

Vezi și

modificare