În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Fie   și   două șiruri de numere reale, astfel încât   este strict crescător și  

Dacă există   atunci există și   și

 

Demonstrație

modificare

Fie (xn) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I1 = [ a1, b1 ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I1 în două părți: [ a1, (a1 + b1) / 2 ] și [ (a1 + b1) / 2, b1 ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (an). Notăm acest interval I2 = [ a2, b2 ]. Evident, avem a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 și b2 - a2 = (b1 - a1) / 2. Împărțim intervalul I2 în două părți, astfel: [ a2, (a2 + b2) / 2 ] și [ (a2 + b2) / 2, b2 ]. Notăm cu I3 = [ a3, b3 ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (an). Se obține astfel: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 și b3 - a3 = (b1 - a1) / 4.
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale In = [ an, bn ], n ≥ 1, astfel încât:

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ... ≤ bn+1 ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 și bn - an = (b1 - a1) / 2n, n ≥ 1.

Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (an) și (bn) sunt convergente și  .
Deoarece în fiecare interval I1, I2, ..., In, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (an), alegem câte un termen din fiecare interval:

a n1 din I1, a n2 din I2, ..., a nk din Ik, unde n1 < n2 < ... < nk < ....

Rezultă că ap ≤ anp ≤ bp, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui:  . Așadar, subșirul (anp) este convergent.

Aplicații

modificare
  Să se determine:  

Rezolvare. Notăm:   și  

Avem:

 
 
 
 
  Să se determine  

Se consideră   și  

Se ține seama că:

 

unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.

Așadar,  

Bibliografie

modificare

Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești.