Deschide meniul principal

Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).[1][2]

EnunțModificare

Fie   un interval, funcția   și   cu  . Dacă:

  •   este continuă pe intervalul închis [a,b],
  •   este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),

atunci există   astfel încât:   (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

DemonstrațieModificare

Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru   rezultă:

 

Dar  , deci:

 .

Interpretare geometricăModificare

 
Interpretare geometrică: pentru orice funcție f(x) continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b) există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f.

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continuă pe intervalul [a, b] și derivabilă pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finiteModificare

Consecința 1Modificare

Fie   un interval. O funcție   este constantă pe   dacă și numai dacă are derivata nulă pe  .

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă   are derivata nulă pe   și   cu   atunci din teorema lui Lagrange există   cu   și deci  , adică   este constantă pe  .

Consecința 2Modificare

Fie   un interval și   derivabile pe  . Funcțiile   și   au aceași derivată pe   dacă și numai dacă există   cu   pentru orice   (adică   și   diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile   și   au aceeași derivată pe   dacă și numai dacă funcția derivabilă   are derivată nulă pe  . Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă   este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3Modificare

Fie   un interval   cu   și   continuă pe   și derivabilă pe  . Atunci

i)   este crescătoare pe   dacă și numai dacă , pentru orice  ;

ii)   este descrescătoare pe   dacă și numai dacă , pentru orice  ;

iii)   este strict crescătoare pe   dacă și numai dacă:

  •  , pentru orice  ;
  • mulțimea   este densă în  ;

iv)   este strict descrescătoare pe   dacă și numai dacă:

  •  , pentru orice  ;
  • mulțimea   este densă în  .
Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă   este crescătoare pe   atunci pentru orice  :

 ;

Suficiența

Dacă   atunci pentru orice   și   cu   avem (din teorema lui Lagrange) că există   și deci  , adică   este crescătoare pe  .

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare  .

iii) Necesitatea

Dacă   este strict crescătoare pe  , atunci din (i) rezultă ca   pe are  .Dacă pe un anumit interval deschis   am avea   pentru orice   atunci restricția funcției   la   ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că   este strict crescătoare pe  .

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci   este crescătoare pe  . Dacă   nu ar fi strict crescătoare pe  , ar rezulta că există un interval   astfel ca restricția funcției   la   este constantă, adică   pentru orice  , ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția  .

NoteModificare

  1. ^ fr Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'école polytechnique, 9-ème cahier, tome III, §52, p. 49.
  2. ^ Wieleitner, H., Istoria matematicii. De la Descartes pînă la mijlocul secolului al XIX-lea, Editura Științifică, București, 1964, p. 155.

BibliografieModificare

Vezi șiModificare