Teorema lui Heine

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f : [a , b] →

\mathbb {R}

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

$\forall x\in [a,b],\;\forall \epsilon >0,\exists \alpha _{x\epsilon }>0$

astfel încât

$\forall x'\in [a,b],\;|x-x'|<\alpha _{x\epsilon }\;\Rightarrow \;|f(x)-f(x')|<\epsilon$

Deoarece $\alpha$ poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

$\forall x\in [a,b],\;\exists \alpha _{x}$

devine

$\exists \alpha ,\;\forall x\in [a,b]$

Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

$\forall \epsilon >0,\;\exists \alpha _{\epsilon }>0\;/\;\forall x\in [a,b],\;\forall x'\in [a,b],\;|x-x'|<\alpha _{\epsilon }\;\;\Rightarrow \;\;|f(x)-f(x')|<\epsilon .$

Demonstrație

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

$\forall \epsilon >0,\;\exists \alpha >0$

astfel încât:

$\forall (a,b)\in X,\;d(a,b)<\alpha \;\Rightarrow \;d'(f(a),f(b))<\epsilon$ .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există $\epsilon >0$ astfel încât pentru orice $\scriptstyle \alpha ={\frac {1}{n}}$

putem găsi două puncte $a_{n}$ și $b_{n}$ în X cu:

$d(a_{n},b_{n})<{\frac {1}{n}}$ și $d'(f(a_{n}),f(b_{n}))>\epsilon \,$

Șirul $a_{n}$ are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

$\phi \,$

iar limita sa $a\,$ .

Deoarece

$d(a_{\phi (n)},b_{\phi (n)})<{\frac {1}{\phi (n)}}$

avem

$(b_{\phi (n)})$ convergent, cu limita $a\,$

Așadar, dacă n tinde către $\scriptstyle +\infty$

și deoarece f este continuă:

$d'(f(a),f(b))\geq \epsilon \,$ .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Note

Bibliografie

Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și

Georg Cantor