Teorema lui Heine

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

EnunțModificare

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.


În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →    

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

 

astfel încât

 

Deoarece   poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

 

devine

 


Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

 


DemonstrațieModificare

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

 

astfel încât:

  .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există   astfel încât pentru orice  

putem găsi două puncte   și   în X cu:

  și  

Șirul   are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

 

iar limita sa   .

Deoarece

 

avem

  convergent, cu limita  


Așadar, dacă n tinde către  

și deoarece f este continuă:

  .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

NoteModificare

BibliografieModificare

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi șiModificare

Legături externeModificare