Teorema lui Napoleon

În geometrie, teorema zisă a lui Napoleon este o problemă de geometrie sintetică.

Teorema lui Napoleon

Enunț

Dat fiind un triunghi oarecare ΔABC, pe laturile acestuia se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale: ΔABZ, ΔBCX și ΔACY (sau toate trei în interior). Să se arate că centrele N, L și respectiv M ale triunghiurilor construite formează un triunghi echilateral.

Demonstrații

Prin triunghiuri asemenea

Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respectiv 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ.

Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor $\sphericalangle$ MAN și $\sphericalangle$ CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN

Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN.

Același raționament de mai sus se aplică pentru a arăta că LN = ML.

În concluzie MN = LN = ML, deci triunghiul MNL este echilateral.

Prin numere complexe

Se notează $j=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}$ (rădăcină a unității).

Înzestrând planul complex cu un reper ortonormat fie a, b, c, l, m și n afixele punctelor A, B, C, L, M și N în acest reper.

Prin construcție, A este imaginea lui B prin rotație de centru N și unghi $\textstyle {+{\frac {2\pi }{3}}}$, ceea ce se traduce prin :

$(a-n)=j(b-n).$

La fel:

$(b-l)=j(c-l)\quad {\text{și}}\quad (c-m)=j(a-m).$

Se deduce:

$(1-j)n=a-jb,\quad (1-j)l=b-jc\quad {\text{și}}\quad (1-j)m=c-ja.$

Cum însă $\textstyle {{\frac {1}{j}}+1+j=0}$ și $j^{3}=1$, se obține:

${\begin{aligned}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\&=j^{2}a+j^{4}b+j^{3}c\\&=-j^{2}[-a+(1+j)b-jc]\\&=-j^{2}[(b-jc)-(a-jb)]\\&=-j^{2}(1-j)(l-n)\end{aligned}}$

Împărțind la $(1-j)$ rezultă $(m-n)=-j^{2}(l-n)$ sau $\scriptstyle (m-n)=e^{i{\frac {\pi }{3}}}(l-n)$.

M este imaginea lui L prin rotație de centru N și unghi $\textstyle {+{\frac {\pi }{3}}}$ deci $NLM$ este un triunghi echilateral.

Vezi și

Pentru alte probleme care au soluții cu triunghiuri asemenea:

• Listă de probleme de geometrie

Culegeri de probleme

• Grigore Gheba, Exerciții și probleme de matematică, clasele V-VIII, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975
• G. Țițeica, Probleme de geometrie, ediția a VI-a, Editura Tehnică București, 1961.
• W. J. Lougheed and J. G. Workman, Geometry for High Schools, The Macmillan Company of Canada Limited, 1935

Legături externe

• Aplet Java pentru Teorema lui Napoleon