Testul liniei orizontale

În matematică, testul liniei orizontale este utilizat pentru a determina dacă o funcție este injectivă.^[1]

Funcția trece testul
(este injectivă)

Funcția nu trece testul
(nu este injectivă)

În analiză

O linie orizontală este o dreaptă paralelă cu axa absciselor. Având în vedere o funcție reală de variabilă reală $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ se poate decide dacă este injectivă examinând cum intersectează dreptele orizontale graficul funcției. Dacă vreo linie orizontală $y=c$ intersectează graficul în mai multe puncte, funcția nu este injectivă. Pentru a constata acest lucru, trebuie observat că punctele de intersecție au aceeași valoare $y$ (deoarece se află pe linia $y=c$ ) dar diferite valori $x$ , ceea ce înseamnă prin definiție că funcția nu poate fi injectivă.^[1]

Variante ale testului liniei orizontale pot fi utilizate pentru a determina dacă o funcție este surjectivă sau bijectivă:

Funcția f este surjectivă (adică, pe) dacă și numai dacă graficul său intersectează orice linie orizontală cel puțin o dată.
Funcția f este bijectivă dacă și numai dacă graficul său intersectează orice linie orizontală o singură dată.

În teoria mulțimilor

Fie funcția $f\colon X\to Y$ cu graficul său ca submulțime a produsului cartezian $X\times Y$ . Fie liniile orizontale în $X\times Y$ : $\{(x,y_{0})\in X\times Y:y_{0}{\text{ este constant}}\}=X\times \{y_{0}\}$ . Funcția $f$ este injectivă dacă și numai dacă fiecare linie orizontală intersectează graficul cel mult o dată. În acest caz, se spune că graficul trece testul liniei orizontale. Dacă vreo linie orizontală intersectează graficul de mai multe ori, funcția nu trece testul liniei orizontale și nu este injectivă.^[2]

Note

^ ^a ^b en Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (ed. 5th.). Toronto ON: Brook/Cole. pp. 64. ISBN 0-534-39330-6. Accesat în 15 iulie 2012. Therefore, we have the following geometric method for determining whether a function is one-to-one.
^ en Zorn, Arnold Ostebee, Paul (2002). Calculus from graphical, numerical, and symbolic points of view (ed. 2nd). Australia: Brooks/Cole/Thomson Learning. p. 185. ISBN 0-03-025681-X. No horizontal line crosses the f-graph more than once.

Vezi și

Funcție monotonă

Portal Matematică

[Stewart-1] Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (ed. 5th.). Toronto ON: Brook/Cole. pp. 64. ISBN 0-534-39330-6. Accesat în 15 iulie 2012. Therefore, we have the following geometric method for determining whether a function is one-to-one.

[2] Zorn, Arnold Ostebee, Paul (2002). Calculus from graphical, numerical, and symbolic points of view (ed. 2nd). Australia: Brooks/Cole/Thomson Learning. p. 185. ISBN 0-03-025681-X. No horizontal line crosses the f-graph more than once.

[1]

[2]