Transformarea lui Abel

În matematică, transformarea lui Abel este o transformare de tipul:

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{N}B_{N}-a_{1}B_{0}-\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k+1-a_{k}}),\!$

unde $a_{k},b_{k}\!$ sunt dați, $B_{0}\!$ ales arbitrar iar:

$B_{k}=B_{k-1}++b_{k}=B_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k},\;\;k=1,2,\cdots ,N.\!$

Transformarea lui Abel este analogia în matematica discretă a integrării prin părți.

Dacă $a_{N}\rightarrow 0\!$ și orice șir $\{B_{k}\}\!$ este mărginit, atunci transformarea lui Abel poate fi aplicată seriei:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})B_{k}-a_{1}B_{0}.\!$

Poartă numele matematicianului Niels Henrik Abel.

Transformarea lui Abel este utilizată pentru a demonstra mai multe criterii de convergență ale seriilor de numere (cum ar fi criteriul lui Abel). Rezultatul transformării este o serie cu aceeași sumă, dar mai rapid convergentă.

Transformarea lui Abel mai este utilizată și la realizarea unor estimări asupra ratei de convergență a unei serii (vezi: Inegalitatea lui Abel).