Utilizator:GratarGratar/Vector euclidean

Un vector îndreptat de la A la B

In matematica, fizica, si inginerie, un vector Euclidean (uneori numit vector geometric sau vector spatial, sau—ca aici— simplu un vector) este un obiect geometric care are magnitudine (i.e. lungime) si directie. Vectorii pot fi adaugati altor vectori, conform algebrei vectoriale. Un vector Euclidean este frecvent reprezentat printr-un segment avand o directie definita, sau grafic cu ajutorul unei sageti ce conecteaza un punct de origine A cu un punct terminal B, și notat cu ${\displaystyle }$

Un vector este un oarecare vehicul necesar transportului din punctul A in punctul B; cuvantul Latin "vector" insemnand "caraus" Acest concept, in sensul prezentat aici, a fost folosit pentru prima data de astronomii secolului XVIII, ce investigau rotatia planetelor in jurul Soarelui. Magnitudinea vectorului este distanta dintre cele doua puncte iar directia se refera la directia deplasarii de la A la B. Multe operatii alegebrice pe multimea reala, precum adunarea, scaderea, inmultirea si negarea, au analog in calculul vectorial, respectand aceleasi legi ale comutativitatii, asociativitatii si distributivitatii. Aceste operatii, si legile aferente, califica vectorii Euclidieni ca un caz particular al conceptului mai general de element (vector) al unui spatiu vectorial. 

Vectorii joaca un rol important in fizica: viteza si acceleratia unui obiect aflat in miscare si fortele ce actioneaza asupra sa pot fi reprezentate cu ajutorul vectorilor. Alte multe cantitati fizice pot fi gandite si reprezentate prin intermediul vectorilor. Desi majoritatea lor nu reprezinta distante, totusi reprezentarea grafica prin intermediul sagetii ramane relevanta. Reprezentarea matematica a unui vector fizic depinde de sistemul de coordonate folosit pentru descrierea lui. Alte obiecte matematica similare cu vectorii ce descriu cantitati fizice si se transforma sub influenta sistemului de coordonate sunt pseudovectorii si tensorii.  

Istorie

Conceptul de vector, asa cum il cunoastem astazi, este rezultatul evolutiei de-a lungul a peste 200 de ani. Au existat mai multi matematicieni ce au adus contributii importante conceptului

Giusto Bellavitis a definit ideea de baza in 1835, prin conceptul de echipolenta. Lucrand in plan Euclidean, a denumit drept "echipolente" orice pereche de segmente liniare avand aceeasi lungime si orientare. In esenta, a ajust la stabilirea unei relatii de echivalenta a perechilor de puncte (bipunctelor) in plan, creand astfel primul spatiu vectorial in plan 

Termenul de "vector" a fost introdus de William Rowan Hamilton, ca parte a unui cuaternion, care este o sumă  q = s + v v dintre un numar real s (denumit si scalar) si un vector tridimensional. Asemenea lui Bellavitis, Hamilton a gandit vectorii ca reprezentativi pentru clasele de segmente echipolente. Dupa cum numerele complexe folosesc o unitate imaginara drept complement al liniei reale, Hamilton considera vectorul v ca fiind partea imaginara a unui cuaternion:

Partea algebrica imaginara, ce este geometric reprezentata printr-o linie dreapta, sau vector-raza, care are, in general, pentru fiecare cuaternion determinat,o lungime determinata si o directie determinata in spatiu, poate fi numita parte vectoriala, sau simplu - vectorul unui cuaternion. 

Multi alti matematicieni au dezvoltat sisteme similare celui vectorial la mijlocul secolului XIX, inclusiv Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Mobius, Comte de Saint-Venant si Matthew O'Brien. Lucrarea lui Grassmann din 1840 "Theorie der Ebbe und Flut" (Teoria Fluxului si Refluxului) prezinta primul sistem de analiza spatiala similar cu sistemul pe care-l folosim astazi, promovand idei precum peodusul vectorial, produsul scalar si diferentiere vectoriala. Lucrarile (matematice) ale lui Grassmann au fost, in cea mai mare parte, neglijate pana in anii 1870. 

Peter Guthrie Tait a dus mai departe conceptul de cuaternion dupa Hamilton. In lucrarea sa din 1867 "Tratat asupra cuaternionilor" trateaza extensiv operatorul nabla, cunoscut si ca "operatorul del" ∇.

În 1878 William Kingdon Clifford publica lucrarea "Elemente de dinamica", simplificand studiul cuaternionilor prin tratarea separata a produsului scalar si vectorial a doi vectori de produsul (agregat) cuaternian. Aceasta abordare a favorizat adoptarea calculului vectorial de catre ingineri si alte profesii ce se aratau sceptice in legatura cu existenta celei de-a patra dimensiuni, dar erau dispusi sa lucreze in trei (dimensiuni). 

Josiah Willard Gibbs, care a invatat despre cuaternioni prin intermediul lucrarii lui James C. Maxwell "Tratat asupra electricitatii si magnetismului", a tratat idependent aspectul lor vectorial. Prima jumatate a lucarii lui Gibbs "Elemente ale analizei vectoriale", publicata in 1881, prezinta, in esenta, sistemul modern de analiza vectoriala În 1901, Edwin Bidwell Wilson publica lucrarea "Analiza vectoriala", creata dupa prelegerile sustinute de Gibbs, care elimina orice mentiune la cutarnioni in dezvoltarea calculului vectorial.  

Privire de ansamblu

In fizica si inginerie, vectorul este in principal privit din perspectiva geometrica, caracterizat prin magnitudine si directe. Este formal definit drept un segment directionat, sau sageata, intr-un spatiu Euclidean. În matematica pură, un vector este definit, intr-un mod mai general, fiind orice element al unui spatiu vectorial. In acest context, vectorii sunt entitati abstracte care nu trebuie neaparat sa fie caracterizati prin magnitudine si directie. Aceasta definitie generalizata implica faptul ca entitatile geometrice definite mai inainte drept vectori reprezinta o categorie particulara, elemente ale spatiului Euclidean care, la randul sau, este un spatiu vectorial particular. 

Prezentul articol se limiteaza insa la definitia mai strica a vectorilor drept segmente orientate intr-un spatiu Euclidean. Nominal, acestia se disting de vectorii in acceptiunea lor cea mai generala cu care lucreaza matematica pura, prin denumiri precum "vectori geometrici", "vectori spatiali" sau "vectori Euclidieni". Fiind o sageata, fiecare vector Euclidean poseda un anume punct initial si un anume punct terminal. Un vector pentru care punctele initial si terminal sunt fixe se numeste vector legat. Cand doar magnitudinea si directia sunt luate in considerare, atunci punctul initial nu este fix ci poate fi luat aleatoriu. Un astfel de vector se numeste vector liber. Astfel, doi vectori ${\displaystyle }$ și ${\displaystyle }$ sunt identici daca au aceeasi magnitudine si directie. Alfel spus, ei sunt echivalenti daca patrulaterul  ABB'A' este paralelogram. Daca spatiul Euclidean are stabilit un punct de origine, atunci un vector liber este echivalent cu vectorul legat de aceeasi magnitudine si directie a carui punct initial este punctul de origine. 

Conceptul de vector poate fi generalizat pentru spatii multidimensionale si formalizat in concordanta pentru aplicatii mult mai largi decat cele descrise aici.

Exemple in plan (intr-o singura dimensiune)

Intrucat fizicianul asuma implicit fortei caracteristicile de directie si magnitudine, aceasta poate fi vazuta drept un vector. Spre exemplu, fie o forta F de 15 newtoni. Daca F are aceeasi directie cu axa pozitiva a planului, atunci F este reprezentata de vectorul 15 N, daca directiile sunt diferite atunci F este vectorul -15 N. In ambele cazuri, magnitudinea vectorului este 15 N. In mod similar, reprezentarea vectoriala a unei deplasari Δs de 4 metri poate fi 4 m sau -4 m, functie de directie, iar magnitudinea este 4m (indiferent de directie).

În fizică și inginerie

Vectorii sunt fundamentali în științele fizice. Ei pot fi folositi pentru a reprezenta orice cantitate ce are magnitudine, directie si care se supune regulii aditiei vectoriale. Un exemplu este velocitatea (i.e. viteza), a carei magnitudine este viteza. Spre exemplu, velocitatea de 5 m/s in directie ascendenta poate fi reprezentata prin vectorul (0,5) (in doua dimesiuni, cu axa pozitiva a planului orientata in "sus"). O alta cantitate reprezentata cu ajutorul vectorilor este forta, deoarece are magnitudine, directie si se supune regulii de adunare vectoriala. Alte multe cantitati fizice pot fi descrise de vectori: deplasarea lineara, deplasarea, acceleratia liniara, acceleratia angulara, impulsul liniar si impulsul angular. Alti vectori fizici, precum cei aferenti campurilor electric si magnetic, sunt reprezentati de sisteme de vectori pentru fiecare punct al spatiului fizic (vectorial); aceasta este un camp vectorial. Exista si cazuri de cantitati care, desi au magnitudine si directie, nu indeplinesc regula de aditie vectoriala: deplasarea angulara si curentul electric. In consecinta, acestea nu pot fi reprezentate prin vectori. 

În spațiul Cartezian

In spatiul de coordonate Cartezian, un vector legat poate fi reprezentat cu ajutorul coordonatelor initiale si terminale. Spre exemplu, punctele A = (1,0,0) si B=(0,1,0) determina vectorul legat AB ce indica de la punctul x=1 pe abscisa x catre punctul y=1 pe ordonata y. 

Intr-un astfel de spatiu, un vector liber poate fi gandit in termenii unui vector legat, punctul initial fiind originea sistemului de coordonate O=(0,0,0). Prin urmare, vectorul legat reprezentat prin (1,0,0) este vectorul unitate ce indica directia cadranului pozitiv al abscisei x. 

Acesta reprezentare cu ajutorul coordonatelor a vectorilor liberi permite efectuarea operatiilor algebrice si usureaza exprimarea caracteristicilor lor algebrice. Spre exemplu, suma a doi vectori (liberi) (1,2,3) si (-2,0,4) este tot un vector (liber):

(1, 2, 3) + (-2, 0, 4) = (1 − 2, 2 + 0, 3 + 4) = (-1, 2, 7).

Vectori afini si Euclidieni

In cadrul geometric si fizic, este posibil uneori sa asociem, intr-un mod natural, magnitudine si directie vectorilor. In plus, notiunea de directie este strict asociata cu notiunea de unghi existent intre doi vectori. Daca produsul scalar a doi vectori este definit, atunci este, de asemenea, posibila definirea unei lungimi; produsul scalar ofera o caracterizare algebrica convenabila atat a unghiului (care este functie de produsul scalar dintre oricare doi vectori nenuli), cat si a lungimii (care este radicalul produsului scalar al vectorului cu sine insusi). In spatiul tridimensional, este posibila definirea produsului vectorial, care ofera caracterizarea algebrica a ariei si orientarii in spatiu a paralelogramului definit de doi vectori (ce reprezinta laturile paralelogramului). In orice dimensiune (in special in dimensiunile mai mari), este posibila definirea produsului exterior care, intre altele, ofera o caracterizare algebrica a ariei si orientarii in spatiu a paralelotopului (i.e. paralelogramului n-dimensional) definit de n vectori. 

Cu toate acestea, nu este intotdeauna posibil sau desirabil a defini lungimea unui vector intr-un mod natural. Aceasta categorie mai generala de vectori spatiali este tratata de spatiile vectoriale (pentru vectorii liberi) si de spatiile afine (pentru vectorii legati, fiecare fiind reprezentat de o pereche ordonata de puncte). Un exemplu important este spatiul Minkowski, care este fundamental pentru înțelegerea relativitatii speciale, unde exista o generalizare a lungimilor care permite vectorilor nenuli sa aiba magnitudine (lungime) nula (zero). Alte exemple fizice sunt furnizate de termodinamica, unde multe cantitati relevante pot fi considerate vectori spatiali insa fara notiunile de magnitudine (lungime) sau unghi.

Generalizări

In fizica, precum si in matematica, un vector este deseori identificat cu ajutorul unui sir ordonat (n-tuplu), sau cu ajutorul unei liste de numere, ce au rolul de coeficient scalari pentru niste vectori de baza. Cand baza este transformata, spre exemplu prin rotatie sau intindere, atunci componentele unui vector, functie de acea baza, se transforma si ele in sens opus. Vectorul in sine este acelasi, insa baza schimbandu-se, componentele vectorului trebuie sa se schimbe pentru compensare. Vectorul se numeste covariant sau contravariant, functie de modul in care transformarea componentelor vectorului se raporteaza la transformarea bazei. In general, vectorii contravarianti sunt cel mai des intalniti, avand unitati de distanta (exp. deplasarea) sau unitati de distanta compuse (i.e. multiplicate) cu viteza sau acceleratia; vectorii covarianti insa, au unitati inverse fata de cei contravarianti (i.e. 1/distanta), un exemplu fiind grandientul. Daca unitatile (de referinta) se schimba, ceea ce reprezinta un caz special al schimbarii bazei, din metrii in milimetrii, insemnand un factor de scalare de 1/1000, o deplasare de 1 m devine o deplasare de 1000 mm (exemplu de schimbare contravarianta in valoarea numerica). In contrast, un gradient de 1 K/m devine 0.001 K/mm - o schimbare covarianta in valoarea numerica. Tensorii se comporta in mod similar, vectorul fiind un tip de tensor.  

In matematica pura, un vector este orice element al unui spatiu vectorial peste un camp vectorial, si este adesea reprezentat prin coordonate. Vectorii descrisi mai departe reprezinta un caz special al acestei definitii generale, deoarece sunt contravarianti relativ la spatiul ambiental (i.e. baza). Contravarianta deserveste mai bine intuitia fizica din spatele ideii ca un vector are "magnitudine (marime) si directie". 

Reprezentări

Vector săgeată orientată de la O la B

Vectorii sunt de obicei notati cu litere mici ingrosate, precum a sau ingrosate si inclinate precum a (majusculele sunt folosite mai degraba pentru reprezentarea matricilor). Alte convenții includ ${\displaystyle }$ sau a, mai ales în scrisul de mână. Alternativ, unii folosesc o tilda (~) sub simbolul denotand vectorul, exp.: ${\displaystyle }$, fiind o conventie (alternativa) pentru a indica ingrosarea. Daca vectorul reprezinta o distanta directionata sau deplasare de la punctul A la punctul B (vezi figura de mai sus), acesta poate fi, de asemenea, notat ca ${\displaystyle }$ sau AB. Mai ales în literatura de specialitate în limba germană era obisnuit a reprezenta vectorii cu litere mici de tip Fraktur (i.e. un tip de caligrafie), precum ${\displaystyle }$.

Vectorii sunt reprezentati in grafice si diagrame drept sageti (segmente orientate), dupa cum se observa in figura de mai sus. In aceasta figura, punctul A se mai numeste origine, coada, baza sau punct initial; punctul B se numeste cap, varf, punct de sfarsit, punct terminal sau punct final. Lungimea sagetii este proportionala cu magnitudinea (lungimea) vectorului, iar directia indicata de sageata reprezinta directia vectorului. 

Intr-o diagrama bidimenstionala, este uneori necesar a se reprezenta un vector perpendicular pe plan. Acesti vectori sunt, de obicei, reprezentati prin mici cercuri. Un cerc cu un punct in centrul sau (Unicode U+2299 ⊙) indică un vector îndreptat perpendicular pe planul diagramei, inspre privitor. Un cerc cu o cruce înscrisă în el (Unicode U+2297 ⊗) indică un vector îndreptat perpendicular pe planul diagramei insa indreptat dinspre privitor. Cu alte cuvinte, in primul caz vedem un varf de sageata, pe cand in al doilea vedem penele sagetii (adica privim sageata din spate).

Un vector în planul Cartezian, care indică poziția unui punct A cu coordonatele (2,3).

Pentru a efectua calcule cu vectori, reprezentarea grafica poate deveni dificila si ineficienta. Vectorii n-dimensionali din spatiul Euclidean pot fi reprezentati cu ajutorul coordonatelor in sistemul Cartezian de coordonate aferent. Punctul terminal al unui vector poate fi identificat cu ajutorul unei liste ordonate de n numere reale (n-tuplu). Aceste numere reprezinta coordonatele punctului terminal al unui vector, relativ la un sistem Cartezian de coordonate dat, si se numesc componentele scalare (sau proiectii scalare) ale vectorului pe axele sistemului de coordonate.  

Un exemplu in doua dimensiuni este dat in figura alaturata, unde vectorul avand originea O=(0,0) si punctul terminal A=(2,3) este scris simplu drept

${\displaystyle }$

Ideea că coada de vector coincide cu originea este implicită și ușor de înțeles. Astfel, notatia mai explicita ${\displaystyle }$ nu este necesara, si rareori este folosita.

În spatiul tridimensional Euclidian (sau R³), vectori sunt identificati cu ajutorul unor perechi de cate trei scalari (i.e. lista ordonata):

<div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math

formula

R³

${\displaystyle }$

scris, de asemenea,

${\displaystyle }$

Aceasta notatie poate fi generalizata pentru spatiul Euclidean n-dimensional (sau Rⁿ).

<div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math

formula

Rⁿ

${\displaystyle }$

Aceste numere sunt adesea aranjate într-un vector coloană sau vector linie (rand), în special cand avem de-a face cu matrici:

${\displaystyle }$

Un alt mod de reprezentare al unui vector n-dimensional este prin introducerea unei baze canonice de vectori (i.e. standard). Spre exemplu, in spatiul tridimensional, avem trei astfel de vectori canonici:

${\displaystyle }$

Reprezentarea intuitiva a acestora este de vectori-unitate (versori), indicand axele x, y si z al unui spatiu de coordonate Cartezian. In termenii unei astfel de baze canonice, orice vector a în R³ poate fi exprimat in forma:

<div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math

formula

R³

${\displaystyle }$

sau

${\displaystyle }$

unde a₁, a₂, a₃ se numesc componentele vectorului (sau proiectiile vectorului) a pe vectorii bazei, sau, echivalent, pe axele Carteziene corespunzatoare x, y si z (vezi figura de mai sus), in vreme ce a1, a2, a3 reprezinta componentele scalare (sau proiectiile scalare).

În manualele introductive de fizica, vectorii canonici (i.e. versorii) sunt adesea identificati prin ${\displaystyle }$ (sau ${\displaystyle }$, unde simbolul ^ reprezintă vectorii unitate). În acest caz, componentele vectorului si componentele scalare sunt notate aferent ax, ay, az si ax, ay, az (a se remarca diferenta de ingrosare). Astfel,

${\displaystyle }$

Notația e_i este compatibila cu indexarea (i.e. notatia de indexare folosita in programare) si cu conventia de insumare Einsteiniana folosita in matematica superioara, fizica si inginerie.

Descompunerea vectorilor (rezolutie)

<div class="cx-template-editor-title" title="The template inserts one or more HTML anchors in a page. Those locations can then be linked to using ... syntax. The parameters labels shown here (e.g., 'First anchor', '1', and the rest) are provided for convenience; no parameter label is required in the template itself, so you may create an anchor within an article by typing or rather than or (though both formats will work correctly). You may not use all by itself, however, as this is like dropping a ship's anchor without tying a rope to it: it holds nothing in place, can't be found or used, and messes up the sea floor with garbage!">Anchor

First anchor

Vector component

Second anchor

Decomposition

Asa cum s-a aratat mai inainte, un vector este descris de un set de componente vectoriale care laolalta formeaza vectorul dat. De obicei, aceste componente sunt proiectiile vectorului pe o serie de axe perpendiculare una pe cealalta (i.e. baza vectoriala). Vectorul se poate descompune relativ la acea serie (baza vectoriala).

Ilustrare a componentelor tangentiala si normala a unui vector la o suprafata

Descompunerea unui vector (numita si rezolutie) in componente nu este unica, deoarece depinde de axele pe care vectorul este proiectat. 

Mai mult decât atât, utilizarea de vectori-unitate Cartezieni (i.e. versori) precum ${\displaystyle }$. Vectorii pot fi, de asemenea, exprimati intr-o baza arbitrara, inclusiv in vectorii-unitate aferenti sistemului de coordonate cilindrice  (${\displaystyle }$) sau sistemului de coordonate sferice (${\displaystyle }$). Ultimele doua optiuni sunt potrivite pentru rezolvarea problemelor ce implica simetrie cilindrica ori sferica.

Alegerea bazei vectorului nu afecteaza proprietatile lui sau comportamentul lui sub influenta transformarilor.

Un vector poate fi, de asemenea, descompus relativ la baze vectoriale mobile (nefixe) care isi schimba orientarea functie de timp si spatiu. De exemplu, un vector in spatiul tridimensional poate fi descompus relativ la doua axe: axa (componenta) normala si axa (componenta) tangentiala la o suprafata - vezi figura de mai sus. Mai mult, componentele radiala si tangentiala a unui vector sunt inrudite cu raza de rotatie a unui obiect. Prima componenta este paralela cu raza, in vreme ce a doua este perpendiculara pe ea.

În aceste cazuri, fiecare componenta poate fi mai departe descompusa in raport cu o baza vectoriala fixa (sistem de coordonate fix) (exp.:un sistem global de coordonate sau sistemul de referinta interial).

Proprietăți de bază

Următoarea secțiune utilizează sistemul de coordonate Carteziene cu baza de vectori:

${\displaystyle }$

și presupune ca toti vectorii au aceeasi origine. Un vector a va fi scris ca

${\displaystyle }$

Egalitatea

Spunem despre doi vectori ca sunt egali daca au aceeasi magnitudine (lungime) si aceeasi directie. Echivalent, cei doi sunt egali daca coordonatele lor sunt aceleasi. Prim urmare, doi vectori:

${\displaystyle }$

și

${\displaystyle }$

sunt egali dacă

${\displaystyle }$

Vectori opusi, paraleli si antiparaleli

Spunem despre doi vectori ca sunt opusi daca au aceeasi magnitudine (lungime) dar directii opuse. Prim urmare, doi vectori:

${\displaystyle }$

și

${\displaystyle }$

sunt opusi dacă

${\displaystyle }$

Spunem despre doi vectori ca sunt paraleli daca au aceeasi directie dar nu in mod necesar aceeasi magnitudine, si spunem ca sunt antiparaleli daca au directii opuse dar nu in mod necesar aceeasi magnitudine.

Lungime

Lungimea, magnitudinea sau norma unui vector a se noteaza prin ||a|| sau, mai putin obisnuit, |a|, ce nu trebuie confundat cu valoarea absoluta (norma unui scalar - i.e. modulul).

Lungimea vectorului - a poate fi calculata cu ajutorul normei Euclidiene:

${\displaystyle }$

care este o consecință a teoremei lui Pitagora, de vreme ce versorii e₁, e₂, e₃ sunt vectori-unitate ortogonali (i.e. perpendiculari unul pe celalalt).

Aceasta se intampla sa fie egala cu radacina patrata al produsului scalar, tratat mai jos, dintre vector si sine insusi:

${\displaystyle }$

Vector unitate

Normalizarea un vector a într-un vector unitate â

Un vector unitate este orice vector cu magnitudinea egala cu 1; de obicei, vectorii unitate se folosesc pentru indicarea directiei. Un vector de lungime arbitrara, poate fi impartit la propria lungime pentru crearea unui vector unitate. Acest proces se numeste normalizare (standardizare). Vectorul unitate este deseori identificat cu ajutorul accentului circumflex (exp.: â). 

Pentru a normaliza un vector a = [a₁, a₂, a₃] , vectorul trebuie proportionat cu inversul lungimii sale ||a||. Prin urmare:

Nowrap

Text

a = [a₁, a₂, a₃]

${\displaystyle }$

Vector nul

Vectorul nul (zero) este vectorul cu magnitudinea egala cu 0. Scris în coordonate, vectorul este (0, 0, 0) , și este, de obicei, notat cu ${\displaystyle }$, 0, sau simplu 0. Spre deosebire de alti vectori, directia sa este arbitrata sau nedeterminata, si nu poate fi normalizat (i.e. nu exista vector-unitate care sa fie multiplu al vectorului nul). Suma vectorului nul cu orice alt vector a este a ( 0 + a = a ).

Nowrap

Text

0 + a = a

Adunarea și scăderea

Presupunand ca a si b sunt doi vectori oarecare, ce pot avea directii si magnitudini (lungimi) diferite, suma lor este:

${\displaystyle }$

Adunarea poate fi reprezentata grafic prin inlatuirea vectorilor, intersectand coada sagetii vectorului b cu capul sagetii vectorului a, urmata de trasarea unui a treia sageti de la coada vectorului a la varful vectorului b. Noua sageata rezultata reprezinta vectorul a+b, dupa cum este arat in desenul de mai jos:

Adăugarea a doi vectori o și b

Diferența dintre un și b este

${\displaystyle }$

Scaderea a doi vectori este reprezentata geometric prin intersectarea cozilor sagetilor vectorilor a si b, urmata de trasarea unei a treia sageti de la varful lui b la varful lui a. Aceasta noua sageata reprezinta vectorul a-b, dupa cum este aratat in desenul de mai jos:

Scăderea a doi vectori o și b

Inmultirea cu un scalara

Multiplicand vectorul cu scalarul 3, se obtine un vector de trei ori mai lung (intins) decat cel initial.

Un vector poate fi, de asemenea, multiplicat, sau "re-scalat", cu un numar real r. In contextul analizei vectoriale, aceste numere sunt numite scalari (de la cuvantul "scala") pentru a-i distinge de vectorii propriu-zisi. Operatiunea de multiplicare a unui vector de un scalar se numeste multiplicare scalara. Vectorul rezultat este:

${\displaystyle }$

Intuitiv, este de asteptat ca multiplicarea vectorului cu un scalar r sa mareasca magnitudinea vectorului de r ori. Geometric, aceasta poate fi reprezentata printr-o succesiune de r vectori ai vectorului multiplicat, unde sfarsitul unui vector (i.e. varful sagetii) reprezinta inceputul vectorului urmator (i.e. coada sagetii).

Daca r este negativ, vectorul isi schimba directia, rotindu-se cu 180°. Doua exemple sunt date mai jos, cu r=-1 si r=2.

Multiplicarea scalara cu -1 (rezultatand -a) si 2 (rezultand 2a) a vectorului a

Produs scalar

Produsul scalar a doi vectori a si b, se noteaza cu a ∙ b si este definit ca:

${\displaystyle }$

unde θ reprezinta masura unghiului dintre a si b (vezi functiile trigonometrice pentru explicatia functie cosinus). Geometric, cei doi vectori a si b sunt desenati avand punctul de origine comun, iar apoi lungimea lui a este multiplicata cu lungimea componentei lui b care indica in aceeasi directie ca vectorul a. 

Produsul scalar poate fi definit si ca suma produselor componentelor vectorilor:

${\displaystyle }$

Produs vectorial

Produsul vectorial are sens doar in spatiul tridimensional sau heptadimensional (i.e. 7 dimensiuni). Produsul vectorial difera de produsul scalar prin aceea ca rezultatul unui produs vectorial este un vector, pe cand in primul caz rezultatul este un scalar. Produsul vectorial, notat cu a x b, este un vector perpendicular pe ambii vectori a si b, si se defineste ca:

${\displaystyle }$

unde θ este măsura unghiului dintre a si b, iar n este un vector unitate (i.e. versor) perpendicular atat pe a cat si pe b, in concordanta cu regula mainii drepte. Constrangerea dextrica (i.e. a regulii mainii drepte) este necesare deoarece exista doi vectori unitate (i.e. versori) care pot fi perpendiculari pe vectorii a si b - repsectiv n si (-n).   

O ilustrare a produs vectorial

Produsul vectorial a x b este definit astfel incat a, b si (a x b) sa se integreze in sistemul mainii drepte (desi a si b nu trebuie sa fie neaparat perpendiculari). Aceasta este regula mainii drepte.

Lungimea lui a x b poate fi interpretata drept aria paralelogramului cu laturile a si b.

Produsul vectorial poate fi scris ca:

${\displaystyle }$

Pentru alegeri arbitrare de orientare spațială (adica nefacand discriminare intre coordonatele regulii mainii drept si coordonatele regulii mainii stangi) produsul vectorial a doi vectori devine un pseudovector, in locul unui vector (vezi mai jos).

Produsul mixt a trei vectori 

Produsul mixt a trei vectori (se mai numeste produsul scalar triplu) nu reprezinta o operatie noua fata de cele prezentata precedent, ci o modalitate de aplicare a celor doua operatii de multiplicare prezentate precedent la trei vectori. Produsul mixt notat prin (a b c) este definit ca:

${\displaystyle }$

El are trei scopuri principale. În primul rând, valoarea absoluta a produsului mixt reprezinta volumul paralelipipedului cu laturile definite de cei trei vectori. În al doilea rând, produsul mixt este zero daca si numai daca cei trei vectori sunt liniari dependenti, ceea ce apare evident daca se considera faptul ca pentru ca cei trei vectori sa nu aiba volum, ei trebuie sa fie in acelasi plan. În al treilea rând, produsul mixt este pozitiv daca si numai daca cei trei vectori a,b si c sunt orientati spre dreapta.

În componente (relativ la o baza conforma regulii mainii drepte), daca cei trei vectori sunt dispusi ca randuri (sau coloane, dar in aceeasi ordine), produsul scalar triplu este determinantul matricei de 3x3 in care cei trei vectori sunt dispusi ca randuri:

${\displaystyle }$

Produsul scalar triplu este linear in toate cele trei intrari (i.e. vectori) si anti-simetric in urmatorul sens: 

${\displaystyle }$

Conversia între mai multe baze Carteziene

Toate exemplele de pana acum au avut vectori exprimati in termenii aceleiasi baze, anume, baza e {e₁, e₂, e₃}. Cu toate acestea, un vector poate fi exprimat in termenii oricarui numar de baze diferite, ce nu sunt necesar aliniate intre ele, ramanand acelasi vectori. In baza e, un vector a este exprimat, prin definitie, in felul urmator: 

${\displaystyle }$.

Componentele scalare in baza e sunt, prin definitie,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$.

Intr-o alta baza ortonormala n = {n₁, n₂, n₃} care nu este neapărat aliniata cu e, vectorul a este exprimat ca:

${\displaystyle }$

și componentele scalare in vaza n sunt, prin definitie,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$.

Valorile p, q, r si u, v, w sunt relative la vectorii unitate (i.e. versori) in asa fel incat suma vectorilor rezultata este acelasi vector a. Este obisnuit a se intalni vectori exprimati in baze diferite (spre exemplu, o baza fixata pe Pamant, iar a doua fixata pe un vehicul aflat in miscare). Intr-un asemenea caz, este necesare o metoda de convertire intre baze, incat operatiile fundamentale de adunare si scadere sa poata fi intreprinse. O modalitate de exprimare a lui u, v, w in termenii p, q, r este de a folosi matrice-coloane alaturi de o matrice a cosinusilor directori continand informatii de convertire a celor doua baze. O asemenea expresie poate fi obtinuta prin substituirea ecuatiilor precedente pentru a forma: 

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$.

Distribuing produsul scalar, se obtine:

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$.

Înlocuind fiecare produs scalar cu un scalar unic, obtinem:

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

${\displaystyle }$,

iar aceste ecuatii pot fi exprimate prin urmatoarea ecuatie matriceala:

${\displaystyle }$.

Aceasta ecuatie matriceala, converteste componentii scalari a lui a in baza n (u,v, w) cu cei din baza e (p, q, și r). Fiecare element al matricei. c_jk este cosinusul director ce converteste n_j la e_k. Expresia "cosinus director" se refera la cosinusul unghiului dintre doi vectori unitate (i.e. versori), care este de asemenea egala cu produsul lor scalar. Prin urmare:

$c_{11}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{12}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{13}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}$

$c_{21}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{22}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{23}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}$

$c_{31}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}$

$c_{32}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}$

$c_{33}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}$

Note

[[Categorie:Algebră abstractă]] [[Categorie:Concepte fizice fundamentale]] [[Categorie:Algebră liniară]] [[Categorie:Calcul vectorial]]