Valuare discretă

În matematică, o valuare discretă este o valuare întreagă pe un corp $K$; adică o funcție:

$\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

satisfăcând condițiile:

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}$

$\nu (x)=\infty \iff x=0$

pentru orice $x,y\in K$.

De multe ori valuarea trivială (care ia doar valorile $0,\infty$) este exclusă în mod explicit.

Un corp cu o valuare discretă netrivială se numește corp de valuare discretă.

Inele de valuare discretă și valuări pe corpuri

Oricărui corp comutativ $K$ cu valuarea discretă $\nu$ îi putem asocia subinelul

${\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}$

al lui $K$, care este un inel de valuare discretă. Reciproc, valuarea $\nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ pe un inel de valuare discretă $A$ poate fi extinsă în mod unic la o valuare discretă pe corpul fracțiilor $K={\text{Frac}}(A)$; inelul de valuare discretă asociat ${\mathcal {O}}_{K}$ e doar $A$.

Exemple

• Pentru orice număr prim fixat $p$ și pentru orice număr $x\in \mathbb {Q}$ diferit de zero scriem $x=p^{j}{\frac {a}{b}}$ cu $j,a,b\in \mathbb {Z}$ astfel încât $p$ să nu dividă $a,b$. Atunci $\nu (x)=j$ este o valuare discretă pe $\mathbb {Q}$, numită valuarea p-adică.
• Fiind dată o suprafață Riemanniană $X$, putem considera corpul $K=M(X)$ al funcțiilor meromorfe $X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$. Pentru un punct fixat $p\in X$, definim o valuare discretă pe $K$ după cum urmează: $\nu (f)=j$ dacă și numai dacă $j$ este cel mai mare număr întreg cu proprietatea că funcția $f(z)/(z-p)^{j}$ poate fi extinsă la o funcție olomorfă în $p$. Aceasta înseamnă: dacă $\nu (f)=j>0$ atunci $f$ are un zero de ordin $j$ în punctul $p$; dacă $\nu (f)=j<0$ atunci $f$ are un pol de ordin $-j$ în $p$. În mod similar se definește o valuare discretă pe corpul funcțiilor unei curbe algebrice pentru orice punct regular $p$ de pe curbă.

Mai multe exemple pot fi găsite în articolul despre inelele de valuare discretă.

Bibliografie

• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, ed. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403 
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, 121 (ed. 2), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966